第十二届全国周培源大学生力学竞赛(个人赛)试题
出题学校：清华大学 【期刊名称】力学与实践 【年(卷),期】2019(041)003 【总页数】2
说明：个人赛奖项分为全国特、一、二、三等奖和优秀奖。全国特、一、二等奖评选标准是：提高题得分进入全国前5%，并且总得分排在全国前列，根据总得分名次最终确定获奖者。全国三等奖和优秀奖直接按赛区内总得分排名确定获奖者。
注意：试题请全部在答题纸上作答，否则作答无效。各题所得结果用分数或小数表示均可。
第一部分 基础题部分(共60分)
第1题(30分)
图示铅垂平面内的系统，T形杆质量为m1，对质心C的转动惯量为J1；圆盘半径为R，质量为m2，对质心O的转动惯量为J2；杆和盘光滑铰接于点O，设重力加速度为g、地面和盘间的静摩擦因数为μ0、动摩擦因数为μ，不计滚动摩阻。
(1)如图(a)，盘以匀角速度ω沿水平地面向右作纯滚动。为使杆保持与铅垂方向夹角θ(0 6 θ< π/2)不变，需在杆上施加多大的力偶矩M1？并求此时地面作用于盘的摩擦力F；(5分)
(2)如图(b)，当盘上施加顺时针的常力偶矩M2，同时M1=0，杆作平移，分析圆盘的可能运动，并求杆与铅垂方向夹角β、盘的角加速度ε及地面对盘的摩
擦力F。(25分) 第2题(30分)
如图所示宽为b的矩形截面三层复合梁，各层固结为一体；已知各层材料弹性模量分别为E1，E2和E3，相应的厚度分别为h1，h2和h3，其中E1=E3=E2/5=E，h1=h2=h3/50=h。对其进行四点弯曲试验。 (1)试求中性层的位置；(15分)
(2)设弯曲后BC段中性层曲率半径为ρ，试写出该段横截面上的正应力与ρ的关系，画出正应力的分布图；(9分)
(3)当层2断裂时，层1和层3仍为线弹性变形，BC段梁上缘的曲率半径为R，由此计算层2材料的强度极限σb。(6分)
第二部分 提高题部分(共60分)
第3题(30分)
在真空中处于失重状态的均质球形刚体，其半径r=1m，质量M=2.5kg，对直径的转动惯量J=1kg·m2，球体固连坐标系Oxyz如图所示。另有质量m=1kg的质点A在内力驱动下沿球体大圆上的光滑无质量管道(位于Oxy平面内)以相对速度vr=1 m/s运动。初始时，系统质心速度为零，质点A在x轴上。 (1)试判断系统自由度；(3分)
(2)当球体初始角速度ωx0=0;ωy0=0;ωz0=1/s时，求球心O的绝对速度vO，球体的角速度沿z轴分量ωz，质点A的绝对速度vA和绝对加速度aA；(17分)
(3)当球体初始角速度ωx0=1/s;ωy0=0;ωz0=0.4/s时，求球体的角速度ω和角加速度ε。(提示：建立另一个动系Ox′y′z′，使质点A始终在x′轴上)(10 分)
第4题(20分)
如图(a)所示，截面初始半径为R、密度为ρ的圆柱体AB(材料不可压缩)竖直悬挂，在重力作用下(重力加速度为g)变形。
(1)截面C变形前距A端为x，试求悬挂后该截面轴力；(3分)
(2)设变形后轴力与变形的关系为F=πr2G(λ2?λ2r)，其中G为剪切模量，λ和λr为轴向和径向的伸长比(伸长比定义如图(b)所示)。试根据题设推导λ和λr之间的关系，并建立变形后截面半径r随初始截面位置x的变化关系；(10分) (3)若将变形后A′C′段(测得其长度为x′)近似为圆台，试求材料的剪切模量G。(7分)
第5题(10分)
如图(a)所示，弹性软基体中有一细长等截面梁，弯曲刚度EI，梁受轴向压缩。 (1)若将弹性基体等效为分布弹簧，其刚度为K(弹性基体对梁单位长度上产生单位挠度时的反力)，试根据图(b)建立分析该长梁失稳的平衡微分方程；(3分) (2)假设失稳模式为试求梁发生失稳时的临界载荷Fcr和临界失稳波长λcr。(7分)
第十二届全国周培源大学生力学竞赛(个人赛)试题
