复变函数与积分变换课程2-3

第三节 初等函数

主要内容

一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab 与幂函数 四、三角函数和双曲函数

一、指数函数

当函数 f(z) 在复平面内满足以下三个条件:(1) f(z)在复平面内处处解析;(2) f?(z)?f(z);(3) 当Im(z)?0时, f(z)?e,其中x?Re(z).x此函数称为复变数z的指数函数, 记为expz.3 1.指数函数的定义:

z?x?iy，称 对于复数

w =expz?e(cosy?isiny)为指数函数. x指数函数 expz 可以用 e 来表示. ze?e(cosy?isiny)注意 e 没有幂的意义, 只是代替 expz 的符号. zzx欧拉公式 e?cos??isin?i?4 复变数z的指数函数, 记为 expz?e(cosy?isiny)指数函数的定义等价于关系式:

x|expz|?e,??(其中k为任何整数) Arg(expz)?y?2k?,?zxx|e|?e?0e?0z5