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大学数学习题及答案
一 填空题:
1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.
2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________. 3 方程y''?2y'?y?0的基本解组是_________. 4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间. 5 方程
dy?1?y2的常数解是________. dx6 方程x''?p(t)x'??q(t)x?0 一个非零解为 x1(t) ,经过变换_______
7 若4(t)是线性方程组X'?A(t)X的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.
10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程y'?p(x)y?q(x)有积分因子(?? ). 12 求解方程
dy??x/y的解是( ). dx22213已知(axy?3xy)dx?(x?y)xdy?0为恰当方程,则a=____________.
?dy22??x?y14 ?dx,R:x?1,y?1由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).
??y(0)?0dy?dy?15方程??5?6y?0的通解是( ). ?dx?dx??dy?3516方程???y?x?y的阶数为_______________.
?dx?17若向量函数?1(x);?2(x);?3(x)??n(x)在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组
42dy?A(x)?的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. dx22x(y?1)dx?y(x?1)dy?0所有常数解是____________________． 19．方程
?? 20．方程y?4y?0的基本解组是____________________．
dy?dx21．方程
y?1满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________．
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22．函数组
?1(x),?2(x),?,?n(x)在区间I上线性无关的____________________条件是它们的朗斯基行
列式在区间I上不恒等于零．
23．若y??1(x),y??2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们____________________共同零点．
二 单项选择:
?dy?x3?y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). 1 方程dx1(A)上半平面 (B)xoy平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面 2 方程
dy?dxy?1( ) 奇解.
(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个 3 在下列函数中是微分方程y''?y?0的解的函数是( ).
(A) y?1 (B)y?x (C) y?sinx (D)y?e 4 方程y''?y?e?x的一个特解y*形如( ).
(A)ae?b (B)axe?bx (C)ae?bx?c (D)axe?bx?c 5 f(y)连续可微是保证方程
xxxxxxdy?f(y)解存在且唯一的( )条件． dx （A）必要 （B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分 6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).
(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间
dy?3y3过点(0,0)有( ). 7 方程dx (A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解
2?01??1?8 初值问题x'???1 0??x , x(0)????1??在区间,???t??上的解是( ).
???? (A) u(t)??9 方程
?t??e??t??e???????? (B) (C) (D) u?u?u?(t)(t)(t)?????????t???t???e???e?dy?x2y?cosx?0是( ). dx (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程 （C)超越方程 (D)二阶线性方程
dy?dy?10 方程???3?0的通解是( ).
dx?dx?.
2.
(A)C1?C2e23x (B) C1x?C2e?3x (C)C1?C2e?3x (D)C2e?3x
dy?dy?11 方程???4?4y?0的一个基本解组是( ).
dx?dx? (A) x,e?2x (B)1,e?2x (C)x,e2?2x (D)e?2x,xe?2x
dy?dy?12 若y1和y2是方程??p(x)?q(x)y?0的两个解,则y?e1y1?e2y2 （e1,e2为任意常数） ?2?dx?dx(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解
(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解 13 方程
dydx?1?y2过点(0,0)的解为y?sinx,此解存在( ). (A)(??,??) (B) (??,0] (C)[0,??) (D)[??2,?2] 14 方程y'?3x2y?ex是( ) .
(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程15 微分方程
dydx?1xy?0的通解是( ). (A) y?cx (B) y?cx (C)y?1x?c (D)y?x?c
16 在下列函数中是微分方程y''?y?0的解的函数是( ). (A)y?1 (B)y?x (C)y?sinx (D)y?ex 17 方程y''?y?ex?x的一个数解yx形如( ).
(A) aex?b (B)axex?bx (C)aex?bx?c (D)axex?bx?c 18 初值问题x'???01??x;?1??1 0??x(0)?????1??? 在区间???t??上的解是( ). (A)u(t???t???e?t??t?? (B)u(t)????t??? (C)u?(t)??t????e?t??? (D) u?e?t?)??(t)????e?t?
???dy?y 19．方程
dx的奇解是（ ）．
（A）y?x （B）y?1 （C）y??1 dy?1?y2(?,1) 20. 方程dx过点2共有（ ）个解．
（A）一 （B）无数 （C）两 .
（D）y?0
D）三
（.
21．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．
（A）n （B）n-1 （C）n+1 （D）n+2 22．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．
（A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解 （C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解
?f(x,y)dy?f(x,y)f(x,y)xoy?y23．如果，都在平面上连续，那么方程dx的任一解的存在区间（ ）．
（A）必为(??,??) （B）必为(0,??) （C）必为(??,0) （D）将因解而定
三 求下列方程的解:
1 求下列方程的通解或通积分:
dyydydy?y??1???? (3) (1)?y1ny (2)?y?xy5 (4)2xydx?(x2?y2)dy?0 dxxdxdx?x?(5)y?xy'?2(y') 2 求方程的解 x3 解方程:
(5)321?x(4)?0 tdy?y2cosx并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解 dxdyyy4 求方程: ??tg
dxxxdyy5求方程: ?6?xy2的通解
dxx6 求(3x?6xy)dx?(6xy?4y)dy?0的通解.
2223d4xd2x7 求解方程: 4?22?x?0
dtdtd5x1d4x?0的解 8 求方程: 5?tdt4dt9 求方程y''?5y'??5x的通解
2.
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1?dx?y???dtsint10 求下列方程组的通解?
?dy??x??dt11求初值问题??y'?x?y R:x?1?1 y?1的解的存在区间并求出第二次近似解
y(?1)?0?12 求方程的通解 (1)
dyydyyy2? (2) (3) (y?3x)dx?(4y?x)dy?0(三种方法) ??tan2dxx?ydxxx42?dy??dy?(4)???5???4y?0
?dx??dx?13 计算方程 y''?4y?3sin2x的通解
d2xdx?4?4x?cost 14计算方程 dtdt15 求下列常系数线性微分方程: y''?2y'?10y?xe16 试求x?? ?x的基解矩阵
2x
?21??02?17 试求矩阵A???21? ?的特征值和对应的特征向量. 4??1??35? ?的特征值和特征向量 ??53?18 试求矩阵A??19 解方程组???y'1??32??y1???1 2?????y?? ? ?y'?2????2?20．求下列方程组的通解
?dx??x?2y??dt??dy?3x?4y? ?dt．
四 名词解释
1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程 4伯努利方程 5Lipschitz条件 6 线性相关 五 证明题
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大学数学练习题
