阿氏圆 (1)
阿氏圆整理
阿氏圆基本解法：构造相似
阿氏圆一般解题步骤：PC?kPD
第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；
第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；
OP?m； ODOM 第四步：在OD上取点M，使得?m；
OP 第三步：计算这两条线段长度的比
第五步：连接CM，与圆O交点即为点P．
例题讲解：
例1、如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． （1）求a的值和直线AB的函数表达式；
C6（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若1＝，求m的値；
C25（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°
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＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．
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阿氏圆 (1)
yPByPBMNAE'xOENAxMOE第28题图1 第28题图2
解：（1）把点A（4，0）代入y＝ax2＋(a＋3)x＋3，得 16a＋4(a＋3)＋3＝0．
3
解得a＝－．
4
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∴抛物线的函数表达式为：y＝－x2＋x＋3．
44把x＝0代入上式，得y＝3．
∴点B的坐标为（0，3）．
3由A（4，0），B（0，3）可得直线AB的函数表达式为：y＝－x＋3．
4（2）根据题意，得
39
OE＝m，AE＝4－m，AB＝5，点P的坐标可表示为(m，－m 2＋m＋3)．
4439
∴PE＝－m 2＋m＋3……………………………………………………①
44ANNEAEANNE4－m
∵△AEN∽△AOB，∴＝＝．∴＝＝．
ABBO453453
∴AN＝(4－m)， NE＝(4－m)．
44∵△PMN∽△AEN，且∴
C16＝， C25PN63665
＝．∴PN ＝AN＝×(4－m)＝(4－m)． AN52554
339
∴PE＝NE＋PN＝(4－m)＋(4－m)＝(4－m)………………………...②
424由①、②，得
399
－m 2＋m＋3＝(4－m)． 444
解得m1＝2，m2＝4(不合题意，舍去)． ∴m的値为2．
（3）在（2）的条件下，m的値为2，点E（2，0），OE＝2．∴OE′＝OE＝2． 44
如图，取点F(0，)，连接FE′、AF．则OF＝，AF＝
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42＋()2＝10．
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yBFOE'AEx第28题答案图
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OF32OE′2FE′22∵＝＝，＝，且∠FOE′＝∠E′OB，∴△FOE′∽△E′OB．∴＝．∴FE′＝E′B． OE′23OB3E′B3324
∴E′A＋E′B＝E′A＋FE′≥AF＝10．
3324
∴E′A＋E′B的最小值为10．
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巩固练习：
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，AP?1BP 最小值为（ ） 2A、37 B、6 C、217 D、4
APCB 2、如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA?2PC的最小值是 ． 2CPAB
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3、如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60°，⊙A与BC相切于点E，在⊙A上任取一点P，则PB?3PD的最小值为 ． 2PAD
4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA﹦135°，则2PD﹢PC的最小值是 ．
y
x
5、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD?BEC11PC的最小值和PD?PC的最大值． 22（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求PD?22PC的最小值和PD?PC的最大值． 3311PC的最小值和PD?PC的最大值． 22（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦90°，圆B的半径为,2，点P是圆B上的一个动点，求PD?ADAPDADPBCBCBPC
图1 图2 图3
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