高等数学（下）知识点
主要公式总结
第八章 空间解析几何与向量代数 1、
二次曲面
1）
x2y22??z椭圆锥面： a2b2x2y2z2x2y2z2?2?2?1 旋转椭球面：2?2?2?1 椭球面：2aacabcx2y2z2x2y2z2?2?2?1 双叶双曲面：2?2?2?1 单叶双曲面：2abcabcx2y2x2y2?2?z 双曲抛物面（马鞍面）?2?z 椭圆抛物面：：22abab2）
3）
4）
5）
x2y2x2y2?2?1 双曲柱面：2?2?1
椭圆柱面：2abab2x?ay 抛物柱面：
6）
（二） 平面及其方程 1、
点法式方程：
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0
法向量：n2、
??(A,B,C)，过点(x0,y0,z0)
一般式方程：
Ax?By?Cz?D?0
xyz???1 截距式方程：
abc3、
??n?(A,B,C)n两平面的夹角：1111，2?(A2,B2,C2)，
A1B1C1??A2B2C2
?1??2? A1A2?B1B2?C1C2?0 ；?1//?2?
4、
点
P0(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离：
（三） 空间直线及其方程 1、
??A1x?B1y?C1z?D1?0一般式方程：?
??A2x?B2y?C2z?D2?0对称式（点向式）方程：
2、
x?x0y?y0z?z0??mnp
方向向量：s??(m,n,p)，过点(x0,y0,z0)
3、
两直线的夹角：s1???(m1,n1,p1)，s2?(m2,n2,p2)，
m1n1p1??m2n2p2
L1?L2? m1m2?n1n2?p1p2?0 ；L1//L2?
4、
直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，
L//?? Am?Bn?Cp?0 ；L??? A?B?C
mnp第九章 多元函数微分法及其应用 1、 2、
连续：
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)
偏导数：
fx(x0,y0)?lim3、
?x?0f( x0??x,y0)?f( x0,y0)f(x0,y0??y)?f(x0,y0) ；fy(x0,y0)?lim
?y?0?y?x方向导数：
?f?f?f?cos??cos??l?x?y4、
其中
?,?为
l的方向角。
??梯度：z?f(x,y)，则gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j。
全微分：设z?f(x,y)，则dz?5、
?z?zdx?dy ?x?y（一） 性质 1、
函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
1 2 偏导数连续 充分条件
函数可微 偏导数存在 必要条件 4 3 定义 2 函数连续 2、 1） 若
微分法
复合函数求导：链式法则
z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)，则
?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v????，???? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y（二） 应用
1）
??fx?0求函数z?f(x,y)的极值 解方程组 ? 求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令
??fy?0A?fxx(x0,y0)，B?fxy(x0,y0)，C?fyy(x0,y0)，
① 若② 若③ 若2、 1）
AC?B2?0，A?0，函数有极小值， 若AC?B2?0，A?0，函数有极大值；
AC?B2?0，函数没有极值； AC?B2?0，不定。
几何应用
曲线的切线与法平面
?x?x(t)??曲线?:?y?y(t)，则?上一点M(x0,y0,z0)（对应参数为t0）处的
???z?z(t)x?x0y?y0z?z0??切线方程为：
x?(t0)y?(t0)z?(t0)法平面方程为：2） 曲面
x?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?z?(t0)(z?z0)?0
曲面的切平面与法线
?:F(x,y,z)?0，则?上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：
x?x0y?y0z?z0?? 法线方程为：
Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)第十章 重积分
（一） 二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积
1、 2、 1）
定义：
?f(???f(x,y)d??lim?D?0k?1nk,?k)??k
计算： 直角坐标
??(x)?y??2(x)?D??(x,y)1?，
a?x?b????f(x,y)dxdy??Dbadx??2(x)?1(x)f(x,y)dy
d?2(y)??1(y)?x??2(y)?D??(x,y)?， ??f(x,y)dxdy??cdy??1(y)f(x,y)dx
c?y?dD??2） 极坐标
??(?)????2(?)?D??(?,?)1? ，
???????（二） 三重积分
??f(x,y)dxdy???d????D1(??2(?))f(?cos?,?sin?)?d?
1、 2、 1）
定义： 计算：
????f(x,y,z)dv?lim??0?f(?k?1nk,?k,?k)?vk
直角坐标
????f(x,y,z)dv???dxdy?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz -------------“先一后二”
???2）
?f(x,y,z)dv??dz??abDZf(x,y,z)dxdy -------------“先二后一”
柱面坐标
?x??cos????y??sin????z?z3）
球面坐标
（三） 应用 曲面
，
????f(x,y,z)dv????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz
?S:z?f(x,y),(x,y)?D的面积：
第十一章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分
1、 2、
定义：计算：
?Lf(x,y)ds?lim?f(?i,?i)??si
??0i?1n设
??x??(t),(??t??)，其中?(t),?(t)在[?,?]f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为???y??(t),上具有一阶连续导数，且
??2(t)???2(t)?0，则
（二） 对坐标的曲线积分 1、
定义：设 L 为
xoy面内从 A 到
nB 的一条有向光滑弧，函数
nP(x,y)k，
Q(x,y)在 L 上有界，定义
.
?LP(x,y)dx?lim?P(?k,?k)?xk??0k?1，
?Q(??Q(x,y)dy?lim?L?0k?1,?k)?yk向量形式：2、
?L?F?dr??P(x,y)dx?Q(x,y)dy
L计算：
设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续, L的参数方程为
??x??(t),22(t:???)，其中?(t),?(t)在[?,?]上具有一阶连续导数，且??(t)???(t)?0，则 ???y??(t),3、
两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为
??x??(t)L： ?，L上点(x,y)处的切向量的方向角为：?,???y??(t)，cos?，
cos????(t)??2(t)???2(t)L???(t)??2(t)???2(t)，
则
?LPdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds.
格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D 上具有连续一阶偏导数,
（三） 格林公式 1、
??Q?P?则有?????x??y??dxdy??Pdx?Qdy
?D?L2、G为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，
则
?Q?P? ?曲线积分 Pdx?Qdy在G?x?yL?内与路径无关
（四） 对面积的曲面积分 1、 设
定义：
?为光滑曲面，函数f(x,y,z)是定义在?上的一个有界函数，
定义 2、
???f(x,y,z)dS?lim?f(?i,?i,?i)?Si
??0i?1n计算：———“一单二投三代入”
?:z?z(x,y)，(x,y)?Dxy，则
（五） 对坐标的曲面积分 1、 设
定义：
为有向光滑曲面，函数
n?P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在
?上的有界函数，定义
???R(x,y,z)dxdy?lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xy 同理，
??0i?1???P(x,y,z)dydz?lim?P(?i,?i,?i)(?Si)yz ；??Q(x,y,z)dzdx?lim?R(?i,?i,?i)(?Si)zx
??0i?1?nn??0i?12、 性质：
1）???1??2，则
计算：——“一投二代三定号”
?:z?z(x,y)，
(x,y)?DxyDxy，
z?z(x,y)在
Dxy上具有一阶连续偏导数，
R(x,y,z)在
?上连续，则
???R(x,y,z)dxdy????， ?为下侧取“ - ”. R[x,y,z(x,y)]dxdy,?为上侧取“ + ”
3、 两类曲面积分之间的关系：
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