1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程
1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条01连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
2．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些02小曲边梯形．对每个03小曲边梯形“以直代曲”，即用04矩形的面积近似代替05小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的06近似值，对这些近似值07求和，就得到曲边梯形面积的08近似值(如图②)．
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(3)求曲边梯形面积的步骤：09分割；10近似代替；11求和；12取极限． 3．求变速直线运动的路程(位移)
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如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用13分割，14近似代替，15求和，16取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
“分割”的目的
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“分割”的目的在于更精确地“以直代曲”．教材中的例题中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确，当n越大时，所有小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( )
?i－1i??i?
?上的值，只能用?n?2近似代(2)当n很大时，函数f(x)＝x2在区间?，n????n替．( )
(3)mi＝i，?mi＝30.( )
i＝12
4
答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做
(1)将区间[1,3]进行10等分需插入________个分点，第三个区间是________． (2)做直线运动的物体的速度v＝2t(m/s)，则物体在前3 s内行驶的路程为________．
1
(3)函数f(x)＝x2________连续函数(填是或不是)． 答案 (1)9 [1.4,1.6] (2)9 m (3)不是
探究1 求曲边梯形的面积
例1 求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积[参1
考公式12＋22＋…＋n2＝6n(n＋1)(2n＋1)]．
[解] 令f(x)＝x2＋1. (1)分割
将区间[0,2]n等分，分点依次为
2?n－1?24
x0＝0，x1＝n，x2＝n，…，xn－1＝n，xn＝2.
2i2i－22?2i－22i?
?第i个区间为?(i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝，nn－n＝n. ?n?(2)近似代替、求和 2i
取ξi＝n(i＝1,2，…，n)，
?2i???2i??282
Sn＝∑f?n?·Δx＝∑ ??n?2＋1?·＝∑i＋2
??????nn3i＝1
i＝1
i＝1
n
n
n
8
＝3(12＋22＋…＋n2)＋2 n8n?n＋1??2n＋1?＝n3·＋2
631?4?2＋?＝3＋2. n＋n2???(3)取极限
31??1414?4?2＋n＋n2?＋2?＝，即所求曲边梯形的面积为. S＝limSn＝lim ?3???33??
n→∞
n→∞
拓展提升
规则四边形和曲边梯形面积的求解方法
(1)规则四边形：利用四边形的面积公式． (2)曲边梯形： ①思想：以直代曲；
②步骤：化整为零→以直代曲→积零为整→无限逼近； ③关键：以直代曲；
④结果：分割越细，面积越精确．
1
【跟踪训练1】 求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝x2围成的图形的面积S.
解 (1)分割
n＋1??
?，在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它分成n个小区间?1，
n???n＋1n＋2??n＋n－1??n＋i－1n＋i?
????，n，…，，2，则第i个区间为?n，n?(i＝1,2，…，
n?n?????1
n)，其长度为Δx＝n.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作：ΔSi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替
?n＋i－1n＋i?在区间?，n?上，当n趋向于∞，即Δx趋向于0时，我们用小矩形
?n?n21n
面积近似地代替ΔSi，则有ΔSi≈·＝. ?n＋i－1??n＋i?n?n＋i－1??n＋i?
(3)求和
小曲边梯形的面积和
n
n
Sn＝∑ΔSi＝∑
i＝1
i＝1
n
?n＋i－1??n＋i?
11111??1－＋－＋…＋－＝n?nn＋1n＋1n＋2 n＋n－1n＋n????11?1＝n?n－2n?＝2. ??(4)取极限
1当n趋向于∞，即Δx趋向于0时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝limSn＝2，n→∞11
所以由直线x＝1，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的图形的面积约为2.
探究2 求汽车行驶的路程
例2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
[解] (1)分割
在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它等分成n个小区间．记第2i2?i－1?2?2?i－1?2i??(i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝－i个小区间为?，nn＝n.每个时间n??n
n
段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则显然有s＝∑Δsi.
i＝1
(2)近似代替
2
2i?2i???2i?2?224i4取ξi＝n(i＝1,2，…，n)，于是Δsi≈Δsi′＝v?n?·Δt＝?3?n?＋2?·＝＋(i
??????nn3n
＝1,2，…，n)．
(3)求和
2
24n?n＋1??2n＋1??24i4?24222
＋??sn＝∑Δsi′＝∑ n3n＝n3(1＋2＋…＋n)＋4＝n3·＋4＝
6??
i＝1
i＝1
n
n
1??1??
8?1＋n??1＋2n?＋4. ????
1??1??
从而得到s的近似值sn＝8?1＋n??1＋2n?＋4.
????(4)取极限
1??1????
s＝limsn＝lim ?8?1＋n??1＋2n?＋4?＝8＋4＝12.
??????
n→∞
n→∞
所以这段时间内汽车行驶的路程为12 km. 拓展提升
将变速直线运动的路程问题转化为小区间上近似做匀速直线运动的路程问题，求得各时间区间上路程和的近似值，取极限，即为变速直线运动的路程．实质上与求曲边梯形面积类似．
6
【跟踪训练2】 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t的速度v(t)＝t2，求汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程．
解 (1)分割
?n＋i－1n＋i?
把区间[1,2]等分成n个小区间?，n?(i＝1,2，…，n)，每个区间的长
?n?
n1
度Δt＝n，每个时间段行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则显然有s＝?Δsi.
i＝1
(2)近似代替
n＋i－1
ξi＝n(i＝1,2，…，n)． ?n＋i－1??n?1
?·Δt＝6?n＋i－1?2· Δsi≈v?
?n???n6n216n＝·＝ ?n＋i－1?2n?n＋i－1?2≈
6n
(i＝1,2,3，…，n)．
?n＋i－1??n＋i?
n
(3)求和 sn＝∑
i＝1
6n
?n＋i－1?·?n＋i?
11111??1－＋－＋…＋－＝6n?nn＋1n＋1n＋2 2n－12n???
人教A版高中数学选修2-2讲义第一章导数及其应用 (2)
