第3讲 分类讨论思想
思想概述 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想． 方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决． 例1 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q是( ) 3344A．－ B. C．－ D.
2222答案 C
解析 若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1， 但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9， 与题设矛盾，故q≠1. 又S3＋S6＝2S9，①
根据数列性质S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，② 由①②可得S3＝2S6，
3S6－S314∴q3＝＝－，∴q＝－. S322
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2??sin?πx?，－1 (2)已知函数f(x)＝?x－1若f(1)＋f(a)＝2，则a的取值集合是________． ?e，x≥0.? 思路分析 求a→代入f?1?，f?a?求解→讨论a 答案 ?－ ?? 2?，1? 2? 解析 f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1. 由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1. 当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1，所以a＝1. 当－1 π 所以πa2＝2kπ＋(k∈Z)． 2 11 所以a2＝2k＋(k∈Z)，k只能取0，此时a2＝， 22因为－1 ?? 2 . 22?，1?. 2? 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.本题中，等比数列求和公式的两种情形，分段函数中自变量的不同范围均构成分类的标准. 方法二 由图形位置或形状引起的讨论 图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究． x2y2 例2 设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F1，F2是一个 94直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则 |PF1| ＝________. |PF2| |PF1| 思路分析 求→找|PF1|，|PF2|适合的条件→讨论Rt△PF1F2的直角顶点 |PF2|7答案 或2 2 解析 若∠PF2F1＝90°， 则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2， 又|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25， 解得|PF1|＝ 144|PF1|7 ，|PF2|＝，∴＝. 33|PF2|2 若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， ∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20， 又|PF1|>|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2， ∴|PF1|＝2. |PF2| |PF1|7 综上知，＝或2. |PF2|2 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论. 方法三 由参数变化引起的分类讨论 某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全． 例3 (1)若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是( ) 1－∞，? A.?e?? C．(－∞，0) 答案 D 解析 函数f(x)＝aex－x－2a的导函数f′(x)＝aex－1， 当a≤0时，f′(x)<0恒成立，函数f(x)在R内单调递减，不可能有两个零点； 111 －∞，ln ?内单调递减，在?ln ，＋∞?内单调当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln ，函数在?a???a?a递增， 所以f(x)的最小值为 11 ln ?＝1－ln －2a＝1＋ln a－2a. f ??a?a 1 令g(a)＝1＋ln a－2a(a>0)，则g′(a)＝－2， a 11 0，?时，g(a)单调递增，当a∈?，＋∞?时，g(a)单调递减， 当a∈??2??2?1?所以g(a)max＝g??2?＝－ln 2<0， 1 ln ?<0， 所以f(x)的最小值f ??a?当x→－∞时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点． 综上，实数a的取值范围是(0，＋∞)． (2)函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]·ex在x＝1处取得极小值，求a的取值范围． 思路分析 求f′?x?→看f′?x?＝0的解和1的关系→讨论a 解 f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex. 1 令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝1， a 10，? B.??e?D．(0，＋∞)
2024届新高考步步高大二轮数学专题复习：思想方法 第3讲 分类讨论思想
