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线性代数公式大全
1、行列式
1. n行列式共有n个元素,展开后有n!项,可分解为2行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、A和a的大小无关;
2n
ijij②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A; 3. 代数余子式和余子式的关系:M?(?1)A4. 行列式的重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
i?jijijAij?(?1)i?jMij
②、副对角行列式:副对角元素的乘积??(?1)③、上、下三角行列式(?◥???◣?n(n?1)2n(n?1)2;
):主对角元素的乘积;
;
ABO?OABC?(?1)mgnAB④、?◤?和?◢?:副对角元素的乘积??(?1)⑤、拉普拉斯展开式:ACOB?ACOB?AB、C
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;
5. 对于n阶行列式A,恒有:?E?A????(?1)nk?1nkSk?n?k,其中S为k阶主子式;
k6. 证明A?0的方法: ①、A??A; ②、反证法;
③、构造齐次方程组Ax?0,证明其有非零解; ④、利用秩,证明r(A)?n; ⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
1.
A是n阶可逆矩阵:
?A?0(是非奇异矩阵); ?r(A)?n(是满秩矩阵)
?A的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组Ax?0有非零解;
??b?Rn,Ax?b总有唯一解;
;.
.
?A与E等价;
0;
?A可表示成若干个初等矩阵的乘积; ?A的特征值全不为?ATA是正定矩阵;
?A的行(列)向量组是Rn的一组基; ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵;
2. 对于n阶矩阵A:AA?AA?AE 无条件恒成立; 3. (A)?(A)(A)?(A)(A)?(A)
(AB)?BA(AB)?BA(AB)?BA
**?1**?1?1T*T?1**TT*?1TTT*?1?14. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:
?A1?若A?????A2O???,则: ??As?Ⅰ、A?A1A2LAs?1A2;
???; ??As?1???A1?1?Ⅱ、A?1???????1O?A?1?AO?②、?OB??????OOA??O③、??????1?BO??A?A?1?AC?④、?OB??????O?1?1?1O??;(主对角分块) B?1?B?1??;(副对角分块) O??A?1CB?1??;(拉普拉斯) B?1?O??;(拉普拉斯) B?1??A?1?AO?⑤、?CB????1?1????BCA3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个m?n矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:?EO?F???;
r?OO?m?n等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵A、B,若r(A)?r(B)?????A:B; 2. 行最简形矩阵:
;.
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①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) ①、 若(A?,?E)?:?(E?,?X),则A可逆,且X?A;
②、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成AB,即:
r?1?1(A,B)???(E,A?1B);
c③、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Ax?b,如果(A,b):(E,x),则A可逆,且x?Ab;
?1r4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
??1?②、?????????,左乘矩阵A,?乘A的各行元素;右乘,?乘A的各列ii???n??2O元素;
?1??1????③、对调两行或两列,符号E(i,j),且E(i,j)?1?E(i,j),例如:? ?1???1?;??1?1??????1④、倍乘某行或某列,符号
?1?1?1??1???k????k?1?????E(i(k)),且
1E(i(k))?1?E(i())k,例如:
???(k?0); ?1??⑤、倍加某行或某列,符号
k??k??1?1????1?1????(k?0); ??1?1??????1E(ij(k)),且
E(ij(k))?1?E(ij(?k)),如:
5. 矩阵秩的基本性质: ①、0?r(A)?min(m,n);
m?n②、r(AT)?r(A);
③、若A:B,则r(A)?r(B);
④、若P、Q可逆,则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
;.
.
⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B);(※) ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B);(※) ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B));(※)
⑧、如果A是m?n矩阵,B是n?s矩阵,且AB?0,则:(※)
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解(转置运算后的结论); Ⅱ、r(A)?r(B)?n
⑨、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)?r(A)?r(B)?n;
6. 三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)?行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
?1ac??②、型如??01b?的矩阵:利用二项展开式; ?001???
二项展开式:(a?b)nn?Ca?Ca0nn1nn?11b?L?Camnn?mb?L?Cmn?11n?1nabmmn?m?Cb??Cnabnnnm?0n;
注:Ⅰ、(a?b)展开后有n?1项;
mnⅡ、C?n(n?1)LL(n?m?1)n!?1g2g3gLgmm!(n?m)!mn0nCn?Cn?1
Ⅲ、组合的性质:C?Cn?mnCmn?1?C?Cmnm?1n ?Cr?0nrn?2nrr?1rCn?nCn?1;
③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:
?n①、伴随矩阵的秩:r(A*)???1?0?r(A)?n?????r(A)?n?1; r(A)?n?1②、伴随矩阵的特征值:③、A*A???(AX??X,A*?AA?1???A*X?A?X);
?AA?1、A*?An?1
8. 关于A矩阵秩的描述:
①、r(A)?n,A中有n阶子式不为0,n?1阶子式全部为0;(两句话) ②、r(A)?n,A中有n阶子式全部为0; ③、r(A)?n,A中有n阶子式不为0;
9. 线性方程组:Ax?b,其中A为m?n矩阵,则:
①、m与方程的个数相同,即方程组Ax?b有m个方程; ②、n与方程组得未知数个数相同,方程组Ax?b为n元方程;
;.
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10. 线性方程组Ax?b的求解:
①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换); ②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;
11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:
?a11x1?a12x2?L?a1nxn?b1????ax?ax?L?ax?b???2112222nn2①、???LLLLLLLLLLL??am1x1?am2x2?L?anmxn?bn?a11a12?a21a22②、??MM??am1am2n个未知数)
;
LLOLa1n??x1??b1??????a2n??x2??b2???Ax?b(向量方程,A为m?n矩阵,m个方程,M??M??M??????amn??xm??bm?③、?a1a2L?x1???xan??2????M????xn??b1???b2?(全部按列分块,其中???); ?M????bn?④、ax11?a2x2?L?anxn??(线性表出)
4、向量组的线性相关性
⑤、有解的充要条件:r(A)?r(A,?)?n(n为未知数的个数或维数) 1.
m个n维列向量所组成的向量组A:?1,?2,L,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,L,?m);
??1T??T??TTTm个n维行向量所组成的向量组B:?1,?2,L,?m构成m?n矩阵B??2?; ?M????T???m?含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解;(齐次线性方程组) ②、向量的线性表出 ?Ax?b是否有解;(线性方程组) ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解;(矩阵方程)
3. 矩阵A与B行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax?0和Bx?0同解;(P101例14)
4. r(AA)?r(A);(P101例15)
5. n维向量线性相关的几何意义: ①、?线性相关 ???0;
m?nl?nT②、?,?线性相关
??,?坐标成比例或共线(平行);
③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面;
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线性代数公式大全 - 最新修订(突击必备)(2)
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