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1.4 算法案例（2） （30分钟 50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.1 337与382的最大公约数是（ ） （A）3
（B）382
（C）191
（D）201
2.利用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=4时的值时，需要做乘法与加法的次数分别为（ ）
（A）6,6
（B）5,6
（C）5,5
（D）6,5
3.用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7
4.用秦九韶算法计算多项式f（x）=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5在x=-2时，v3的值为（ ） （A）1
（B）2
（C）3
（D）4
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.三个数72,120,168的最大公约数是______.
6.（易错题）用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当x=-4时的值时，其中v1的值为_____.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.利用秦九韶算法求多项式f（x）=3x6+12x5+8x4-3.5x3+7.2x2+5x-13当x=6时的值，写出详细步骤.
8.用辗转相除法求888与1 147的最大公约数. 【挑战能力】
（10分）已知n次多项式Pn（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,如果在一种算法中，计算x0k
（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法.
（1）计算P3（x0）的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pn（x0）的值需要多少次运算？
（2）若采取秦九韶算法：P0（x）=a0,Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k＝0，1，2，…，n－
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1），计算P3（x0）的值只需6次运算，那么计算Pn（x0）的值共需要多少次运算？
（3）若采取秦九韶算法，设ai=i+1，i=0，1，…，n，求P5（2）.（写出采用秦九韶算法的计算过程）
答案解析
1.【解析】选C.利用辗转相除法 1 337=3×382+191， 382=2×191,
故1 337与382的最大公约数为191.
2.【解析】选A.多项式变形为: f（x）=（（（（（3x+4）x+5）x+6）x+7）x+8）x+1 可以看出需要做6次乘法和6次加法.
【变式训练】（2012·洛阳高一检测）利用秦九韶算法求多项式f（x）=7x3+3x2-5x+11当x=23的值时，在运算中下列哪个值用不到（ ）
（A）164
（B）3 767
（C）86 652
（D）85 169
【解析】选C.f（x）=（（7x+3）x-5）x+11, v1=7×23+3=164, v2=164×23-5=3 767, v3=3 767×23+11=86 652, 所以f（23）=86 652. 3.【解析】选B.459-357=102, 357-102=255, 255-102=153, 153-102=51, 102-51=51，
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所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次，故选B.
4.【解题指南】所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值.
【解析】选B.f（x）=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5 =（x4+5x3+10x2+10x+5）x+1 =（（x3+5x2+10x+10）x+5）x+1
=（（（（x+5）x+10）x+10）x+5）x+1，
∴在x=-2时，v3的值为（（x+5）x+10）x+10=2，故选B. 5.【解析】120=72×1+48,72=48×1+24,48=24×2, 168=24×7. 答案：24
6.【解析】由题意知?答案：-7
【误区警示】此题很容易把所求的v1写成v0的值而出现错误答案. 7.【解题指南】先把多项式改写，再利用秦九韶算法求解.
【解析】f（x）=（（（（（3x+12）x+8）x-3.5）x+7.2）x+5）x-13, v0=3,
v1=v0×6+12=30, v2=v1×6+8=188, v3=v2×6-3.5=1 124.5, v4=v3×6+7.2=6 754.2, v5=v4×6+5=40 530.2, v6=v5×6-13=243 168.2. f（6）=243 168.2.
8.【解析】∵1 147=888×1+259, 888=259×3+111, 259=111×2+37, 111=37×3，
∴888与1 147的最大公约数是37.
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?v0?3,
v?3?（?4）?5??7.?1
苏教版数学高一必修3试题 1.4《算法案例》(2)
