关于y轴对称――→y＝f(－x)； 关于原点对称
③y＝f(x)――→y＝－f(－x)；
关于y＝x对称
④y＝ax (a>0且a≠1)――→y＝logax(a>0且a≠1). 保留x轴上方图像
⑤y＝f(x)将x轴下方图像翻折上去――→y＝|f(x)|. 保留y轴右边图像，并作其
⑥y＝f(x)关于y轴对称的图像――→y＝f(|x|). (3)伸缩变换 ②y＝f(x)
①y＝
y＝f(ax).
a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变
②y＝f(x)0 典例 函数f(x)＝2x＋sin x的部分图像可能是( ) 思维点拨 根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和特征点确定函数图像. 解析 方法一 ∵f(－x)＝－2x－sin x＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，排除B、C， π 又0 方法二 ∵f′(x)＝2＋cos x>0， ∴f(x)为增函数，故A正确. 答案 A 温馨提醒 (1)确定函数的图像，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想. (2)对于给出图像的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除. 二、函数图像的变换问题 典例 若函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图像大致为( ) 思维点拨 从y＝f(x)的图像可先得到y＝－f(x)的图像，再得y＝－f(x＋1)的图像. 解析 要想由y＝f(x)的图像得到y＝－f(x＋1)的图像，需要先将y＝f(x)的图像关于x轴对称得到y＝－f(x)的图像，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图像，根据上述步骤可知C正确. - 14 - 答案 C 温馨提醒 (1)对图像的变换问题，从f(x)到f(ax＋b)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别. (2)图像变换也可利用特征点的变换进行确定. 三、函数图像的应用 典例 (1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( ) A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) (2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________. 思维点拨 (1)画出函数f(x)的图像观察.(2)利用函数f(x)，g(x)图像的位置确定a的取值范围. 2 ?x－2x，x≥0， 解析 (1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝?2 ?－x－2x，x<0， 画出函数f(x)的图像，如图，观察得到，f(x)为奇函数，递减区间是(－1,1). (2)如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图像，观察图像可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞). 答案 (1)C (2)[－1，＋∞) 温馨提醒 (1)本题求解利用了数形结合的思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质. (2)利用函数图像也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图. [方法与技巧] 1.列表描点法是作函数图像的辅助手段，要作函数图像首先要明确函数图像的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；(2)可通过函数图像的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等. 2.合理处理识图题与用图题 (1)识图 对于给定函数的图像，要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系. (2)用图 函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.常用函数图像研究含参数的方程或不等式解集的情况. [失误与防范] 1.函数图像平移的方向和大小： - 15 - 1 函数图像的每次变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图像到f(－2x＋1)的图像是向右平移2个单位. 2.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用. §8 函数与方程 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解. 2.二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像与零点的关系 Δ>0 Δ<0 Δ＝0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 (x1,0) 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) 无交点 2 1 0 零点个数 易错警示系列 3.忽视定义域导致零点个数错误 典例 已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 016x＋log2 016x，则在R上函数f(x)的零点个数为________. 易错分析 得出当x>0时的零点个数后，容易忽略条件：定义在R上的奇函数，导致漏掉x<0时和x＝0时的情况. 解析 当x>0时，由f(x)＝2 016x＋log2 016x＝0得2 016x＝－log2 016x＝log1x.作出函数y＝2 016x与函 2016数y＝log12016x的图像，可知它们只有一个交点，所以当x>0时函数只有一个零点.由于函数为奇函数， 所以当x<0时，也有一个零点.又当x＝0时y＝0，所以共有三个零点. 答案 3 温馨提醒 (1)讨论x>0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定.(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视. [方法与技巧] 1.函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理； (2)数形结合：函数y＝f(x)－g(x)的零点，就是函数y＝f(x)和y＝g(x)图像交点的横坐标. (3)解方程. 2.二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图像列不等式(组). 3.利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法. - 16 - [失误与防范] 1.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像. 2.判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确. §9 实际问题的函数建模 1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0) k反比例函数模型 f(x)＝x＋b (k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) (2)三种函数模型的性质 性质 函y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 数 在(0，＋∞)上的增减单调递增 单调递增 单调递增 性 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 随x的增大逐渐表现为与y轴随x的增大逐渐表现为与x轴随n值变化而各有不图像的变化 平行 平行 同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下： 答题模版系列 2.函数应用问题 典例 (12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元， 400－6x，0 且R(x)＝?7 40040 000 －x2，x>40.??x (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论. 规范解答 - 17 - 解 (1)当0 当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40) 40 000 ＝－x－16x＋7 360.[2分] －6x2＋384x－40，0 所以W＝?40 000[4分] －x－16x＋7 360，x>40.?? (2)①当0 40 000 ②当x>40时，W＝－x－16x＋7 360， 40 00040 000由于x＋16x≥2 x×16x＝1 600， 40 000 当且仅当＝16x， x 即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以W取最大值为5 760.[10分] 综合①②知， 当x＝32时，W取得最大值6 104万元.[12分] 解函数应用题的一般程序 第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论； 第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. 温馨提醒 (1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值. [方法与技巧] 1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础. 2.实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值. 3.解函数应用题的五个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思. [失误与防范] 1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. 专题3 导数及其应用 §1 导数的概念及运算 1.导数与导函数的概念 (1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作 - 18 -
2024届【步步高】高考数学一轮总复习
