2024届【步步高】高考数学一轮总复习

2024届高考数学总复习

一轮复习资料 北师大版

目录

专题1 集合与常用逻辑用语 ·········· - 1 - §5 简单几何体的面积与体积 ······ - 65 -

§1.1 集合的概念与运算 ········· - 1 - §6 空间向量及其运算 ········· - 67 - §2 命题及其条件、充分条件与必要条件 ·· - 2 - §7 立体几何中的向量方法 ······· - 69 - §3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词 - 3 - 7.1 证明平行与垂直 ········ - 69 - 专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ ······· - 5 - 7.2 求空间角和距离 ········ - 71 -

§1 函数及其表示 ············ - 5 - 专题9 平面解析几何 ············ - 73 - §2 函数的单调性与最值 ········· - 6 - §1 直线的方程 ············ - 73 - §3 函数的奇偶性与周期性 ········ - 7 - §2 两条直线的关系 ·········· - 75 - §4 二次函数与幂函数 ·········· - 8 - §3 圆的方程 ············· - 77 - §5 指数与指数函数 ·········· - 10 - §4 直线与圆、圆与圆的位置关系 ···· - 78 - §6 对数与对数函数 ·········· - 11 - §5 椭圆 ··············· - 80 - §7 函数的图像 ············ - 13 - §6 抛物线 ·············· - 82 - §8 函数与方程 ············ - 16 - §7 双曲线 ·············· - 85 - §9 实际问题的函数建模 ········ - 17 - §8 曲线与方程 ············ - 87 - 专题3 导数及其应用 ············ - 18 - §9 圆锥曲线的综合问题 ········ - 89 -

§1 导数的概念及运算 ········· - 18 - 专题10 计数原理 ············· - 99 - §2 导数的应用 ············ - 20 - §1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 - 99 -

2.1 导数与函数的单调性 ······ - 20 - §2 排列与组合 ············ - 100 - 2.2 导数与函数的极值、最值 ···· - 21 - §3 二项式定理 ············ - 102 - §3 定积分与微积分基本定理 ······ - 25 - 专题11 统计与统计案例 ·········· - 104 - 专题4 三角函数、解三角形 ········· - 26 - §1 随机抽样 ············· - 104 -

§1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 · - 26 - §2 统计图表、用样本估计总体 ····· - 106 - §2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 · - 28 - §3 变量间的相关关系、统计案例 ···· - 108 - §3 三角函数的图像与性质 ······· - 29 - 专题12 概率、随机变量及其分布 ······ - 110 - §4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用 · - 31 - §1 随机事件的概率 ·········· - 110 - §5 两角和与差的正弦、余弦正切公式 ·· - 33 - §2 古典概型 ············· - 112 - §6 简单的三角恒等变换 ········ - 34 - §3 几何概型 ············· - 114 - §7 正弦定理、余弦定理 ········ - 35 - §4离散型随机变量及其分布列 ····· - 115 - §8 解三角形的综合运用 ········ - 37 - §5 二项分布及其应用 ········· - 117 - 专题5 平面向量 ·············· - 38 - §6离散型随机变量的均值与方差、正态分布 - 119 -

§1 平面向量的概念及线性运算 ····· - 38 - 专题13 推理与证明、算法、复数 ······ - 121 - §2 平面向量基本定理及坐标表示 ···· - 40 - §1 归纳与类比 ············ - 121 - §3 平面向量的数量积 ········· - 41 - §2综合法与分析法、反证法 ······ - 123 - §4平面向量应用举例 ········· - 42 - §3 数学归纳法 ············ - 125 - 专题6 数列 ················ - 43 - §4 算法与算法框图 ·········· - 127 -

§1 数列的概念与简单表示法 ······ - 43 - §5 复数 ··············· - 129 - §2 等差数列及其前n项和 ······· - 45 - 专题14 系列4选讲 ············ - 131 - §3 等比数列及其前n项和 ······· - 46 - §1 几何证明选讲 ··········· - 131 - §4 数列求和 ············· - 48 - 1.1 相似三角形的判定及有关性质 ·· - 131 - 专题7 不等式 ··············· - 50 - 1.2 直线与圆的位置关系 ······ - 132 -

§1 不等关系与不等式 ········· - 50 - §2 坐标系与参数方程 ········· - 133 - §2 一元二次不等式及其解法 ······ - 52 - 2.1 坐标系 ············ - 133 - §3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题- 53 - 2.2 参数方程 ··········· - 134 - §4 基本不等式及其应用 ········ - 55 - §3 不等式选讲 ············ - 135 - 专题8 立体几何与空间向量 ········· - 57 - 3.1 绝对值不等式 ········· - 135 -

§1 简单几何体的结构、三视图和直观图 · - 57 - 3.2 不等式的证明 ········· - 136 - §2 空间图形的基本关系与公理 ····· - 59 - §3 平行关系 ············· - 61 - §4 垂直关系 ············· - 63 -

专题1 集合与常用逻辑用语 §1.1 集合的概念与运算

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋(或N*) Z Q R 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A?B (或 B=A) 真子集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不集 在集合A中 集合集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 相等 3.集合的运算 图形 集合的并集 集合的交集 A?B A＝B 集合的补集 Venn图 符号 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个. (2)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 易错警示系列 1.遗忘空集致误 典例 设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}.若B?A，则实数a的取值范围是________.

易错分析 集合B为方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的实数根所构成的集合，由B?A，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B＝?的情况，导致漏解. 解析 因为A＝{0，－4}，所以B?A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

?

?－2?a＋1?＝－4，?a2－1＝0，

Δ＝4?a＋1?2－4?a2－1?>0，

解得a＝1；

②当B≠?且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝?时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1. 综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1. 答案 (－∞，－1]∪{1}

温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知集合B，若已知A?B或A∩B＝?，则考生很容易忽视A＝?而造成漏解.

- 1 -

在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论.

[方法与技巧]

1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.

3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现. [失误与防范]

1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.

4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

§2 命题及其条件、充分条件与必要条件

1.四种命题及相互关系

2.四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件

(1)如果p?q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； (2)如果p?q，但q?p，则p是q的充分不必要条件； (3)如果p?q，且q?p，则p是q的充要条件；

(4)如果q?p，且p?q，则p是q的必要不充分条件；

(5)如果p?q，且q?p，则p是q的既不充分又不必要条件. 思想与方法系列 1.等价转化思想在充要条件中的应用

典例 (1)已知p：(a－1)2≤1，q：任意x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且┐q的一个充分不必要条件是┐p，则a的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3] 解析 (1)由(a－1)2≤1解得0≤a≤2，∴p：0≤a≤2. 当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对任意x∈R恒成立；

?a>0，

当a≠0时，由?得0

?Δ＝a－4a≤0

∴q：0≤a≤4.

∴p是q成立的充分不必要条件.

(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由┐q的一个充分不必要条件是┐p，可知┐p是┐q的充分不必要条 - 2 -

件，等价于q是p的充分不必要条件. ∴{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，∴a≥1. 答案 (1)A (2)A

温馨提醒 (1)本题用到的等价转化

①将┐p，┐q之间的关系转化成p，q之间的关系. ②将条件之间的关系转化成集合之间的关系.

(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到. [方法与技巧]

1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要条件的几种判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.

┐┐┐┐┐┐

(2)等价法：即利用A?B与B?A；B?A与A?B；A?B与B?A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.

(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A?B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A?B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件. [失误与防范]

1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.

§3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等. (2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等. 2.全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 3.命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题. (2)p或q的否定：┐p且┐q；p且q的否定：┐p或┐q. 4.简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词. (2)简单复合命题的真值表： ┐┐p q p q p或q p且q 真 真 假 假 真 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 高频小考点 1. 常用逻辑用语及其应用 一、命题的真假判断 典例 已知命题p：存在x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4

C.“p或q”为假命题

D.“p且q”为真命题

- 3 -