圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学一模拟试题及详解（一）一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）1．设a＜x1＜x2＜x3＜b，y＝f（x）在（a，b）内二阶可导且f″（x）＜0（x∈（a，b）），又k1＝[f（x2）－f（x1）]/（x2－x1），k2＝[f（x3）－f（x2）]/（x3－x2），k3＝[f（x3）－f（x1）]/（x3－x1）。则下列不等式成立的是（A．k3＜k1＜k2B．k1＞k2＞k3C．k1＞k3＞k2D．k2＞k1＞k3【答案】C【考点】凸函数的定义和性质【解析】因为f″（x）＜0，故y＝f（x）是（a，b）的凸函数，且k1，k2，k3分别是图1所示线段A1A2，A2A3，A1A3的斜率，由A1A2的斜率＞A1A3的斜率＞A2A3斜率，得k1＞k3＞k2。）。1/74圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台图12．设有无穷级数?cos?1???
??1??2?ln?1????n???n?1?n?
n
其中α为常数，则此级数（A．敛散性与α有关B．发散C．绝对收敛D．条件收敛【答案】D【考点】级数敛散性的判定）。1【解析】易知该级数为交错级数，故其收敛。又?ln(1?)发散，故原级数条nn?1?件收敛。3．设2/74圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台1?2
?ln?1?x??2?2xarctan,x?0f?x???x??2,x?0?
则f（x）在点x＝0处（）。A．可导，但f′（x）在x＝0不连续B．可导且f′（x）在x＝0处连续C．连续，但不可导D．不连续【答案】C【考点】函数连续与可导的定义【解析】函数φ（x）＝ln（1＋x）－2，其在点x＝0处可导，g（x）＝2xarctan（1/x）（g（0）＝0），记
2
记
g(x)?g(0)1lim??lim?2arctan??πx?0x?0xx可推出g±′（0）均存在但不相等，即g′（0）不存在。但g（x）在点x＝0处连续?f′（0）不存在（f（x）＝φ（x）＋g（x）），但f（x）在点x＝0处连续。4．如图2所示，正方形{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}被其对角线划分为四个区域Dk（k＝1，2，3，4），Ik???ycosxdxdy
Dk
则max{Ik}?（1?k?4
）。A．I4
3/74圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台B．I3C．I2D．I1
图2【答案】D【考点】利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性计算二重积分【解析】由积分区域的图形可以看出，积分区域D2和D4都是关于x轴对称，且被积函数是关于y的奇函数，故I2＝I4＝0。又在D1内，ycosx＞0，在D3内，ycosx＜0，故I1＞0，I3＜0，因此max{Ik}?I11?k?45．设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程（Ⅰ）Anx＝0和（Ⅱ）An＋1x＝0，则必有（A．（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解B．（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解C．（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也是（Ⅰ）的解）。4/74圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台D．（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解【答案】C【考点】齐次线性方程组解的性质和结构【解析】若a是（Ⅰ）的解，即Ana＝0，显然An＋1a＝A（Ana）＝A0＝0，即a必是（Ⅱ）的解。若η是（Ⅱ）的解，即An＋1η＝0。假若η不是（Ⅰ）的解，即Anη≠0，那么对于向量组η，Aη，A2η，…，Anη，一方面这是n＋1个n维向量必线性相关；另一方面，若kη＋k1Aη＋k2A2η＋…＋knAnη＝0。用An左乘上式，把An＋1η＝0，An＋2η＝0，…代入，得kAnη＝0。由于Anη≠0，必有k＝0。对k1Aη＋k2A2η＋…＋knAnη＝0。用An－1左乘上式可推知k1＝0。类似可知ki＝0（i＝2，3，…，n）。于是向量组η，Aη，A2η，…，Anη线性无关，两者矛盾。所以必有Anη＝0，即（Ⅱ）的解必是（Ⅰ）的解。6．已知a1
A?
221
则代数余子式A21＋A22＝（A．12B．9C．6D．3【答案】C）。a2231
a3142
a4152?9
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考研数学(一)模拟试题及详解【圣才出品】
