【最新资料】概率论与数理统计学1至7章课后答案
第二章作业题解:
2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.
解: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12 由表格知X的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。 21P(X,3),P(X,11),P(X,2),P(X,12),并且，;; 3636 43P(X,5),P(X,9),P(X,4),P(X,10),;; 3636 56P(X,6),P(X,8),P(X,7),;。 3636
6,|7,k|P(X,k),即 (k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 36
,k2.2 设离散型随机变量的概率分布为试确定常数. aP{X,k},ae,k,1,2？, ,1,,ae,k,1解:根据，得，即。 P(X,k),1ae,1,,,1e1,00k,k, a,e,1 故
2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率:
(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. A,B(i,1,2)解:分别用表示甲乙第一、二次投中，则ii
PAPAPAPAPBPBPBPB()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,,,,,,,,,12121212 两人两次都未投中的概率为:， P(AABB),0.3，0.3，0.6，0.6,0.03241212 两人各投中一次的概率为:
P(AABB)，P(AABB)，P(AABB)，P(AABB),4，0.7，0.3，0.4，0.6,0.20161212122121121221
P(AABB),0.0784两人各投中两次的概率为:。所以: 1212
0.0324，0.2016，0.0784,0.3124(1)两人投中次数相同的概率为 (2) 甲比乙投中的次数多的概率为:
PAABBPAABBPAABBPAABBPAABB()()()()()，，，，
12121221121212121212 ,，，，，，，，，,20.490.40.60.490.3620.210.360.5628
k2.4 设离散型随机变量的概率分布为，求 P{X,k},,k,1,2,3,4,5X15 (1)P(1,X,3)(2)P(0.5,X,2.5) 1232P(1,X,3),，，, 解:(1) 1515155
121 (2) ,，, P(0.5,X,2.5),P(X,1)，P(X,2)15155
12.5 设离散型随机变量的概率分布为，求 P{X,k},,k,1,2,3,？,Xk2 (1)P{X,2,4,6？};(2)P{X,3}
1111111(1){2,4,6}(1) 解:PX,？,，，？,，，，？, 2462243222222 1(2)P{X,3},1,P{X,1},P{X,2}, 4
2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出
信号, 求下列事件的概率:
(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.
解:(1) P(X,3),P(X,3)，P(X,4) 334 ,C0.4，0.6，0.4,0.17924 (2) P(X,3),P(X,3)，P(X,4)，P(X,5)
332445 . ,C0.4，0.6，C0.4，0.6，0.4,0.3174455
2.7 某城市在长度为t (单位:小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊
松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率: (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾; (2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾.
k,,,,1.5PXke(),,e解:(1) ，由题意，,,，,,0.531.5,0k，所求事件的概率为. k!
0,,,,,,,,,,,,，,0.541.5PXeeee(2)11,,,,,,,(2) , 由题意，，所求事,0!1! ,2件的概率为. 13,e
2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99,
解:设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则。
X~B(180,0.01)依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即，也即 P(X,m),0.99
P(X,m，1),0.01
,,180，0.01,1.8因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为的泊松分布。 查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。
故应至少配备6名设备维修人员。
2.9 某种元件的寿命X(单位:小时) 的概率密度函数为: 1000,,1000x,,2 fx(),x, ,0,1000x,,
求5 个元件在使用1500 小时后, 恰有2 个元件失效的概率。 解:一个元件使用1500小时失效的概率为
15001500100010001 P(1000,X,1500),dx,,,2,1000x3x1000
1Y~B(5,) 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则。所求的概率为 3 1280223PYC(2)()(),,，,。 533243
2.10 设某地区每天的用电量X(单位:百万千瓦时) 是一连续型随机变量, 概率密度函数,
为:
2,12(1),01,xxx,,,fx(), ,0,其他,
假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦时, 求该地区每天供电量不足的概率. 若每天的,
供电量上升到90万千瓦时, 每天供电量不足的概率是多少? ,
解:求每天的供电量仅有80万千瓦时, 该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区,
用电量X超过80万千瓦时(亦即X0.8百万千瓦时)的概率: ,,, 0.80.82PXfxdxxxdx(0.8=1-P(X0.8=1-()112(1),)),,,,,,,,0 2340.8,,,，,1(683)0.0272xxx0
若每天的供电量上升到90万千瓦时, 每天供电量不足的概率为: , 0.90.92PXfxdxxxdx(0.9=1-P(X0.9=1-()112(1),)),,,,,,,,0 2340.9,,,，,1(683)0.0037xxx0
22.11 设随机变量求方程有实根的概率. xKxK，，，,2230KU~(2,4),,
22解:方程有实根，亦即,xKxK，，，,2230,,,,,,，,48124(3)(1)0KKKK 2KK,,,,31显然，当时，方程有实根;又由于所xKxK，，，,2230KU~(2,4),, ,,,，,1(2)431求概率为:。 ,4(2)3,,
2.12 某型号的飞机雷达发射管的寿命X(单位:小时) 服从参数为0.005 的指数分布, 求下列
事件的概率:
(1) 发射管寿命不超过100 小时; (2) 发射管的寿命超过300 小时;
(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间.
解:(1) 发射管寿命不超过100 小时的概率:
100100,,,xx0.0050.0050.5=0.39 PXedxee(100)0.0051,,,,,,,00 (2) 发射管的寿命超过300 小时的概率: ,,1.51.5 PXPxee(300)1(300)1(1)0.223,,,,,,,,,
(3) 一只发射管的寿命不超过100 小时, 另一只发射管的寿命在100 至300 小时之间.
,,,0.50.51.5。 (1)()0.15,,,eee
2.13 设每人每次打电话的时间(单位:分钟) 服从参数为0.5 的指数分布. 求282 人次所打
的电话中, 有两次或两次以上超过10 分钟的概率.
解:设每人每次打电话的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为
，,，,,0.5x,0.5x,5P(X,10),0.5edx,,e,e ,1010
,5又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则。 Y~B(282,e)
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