弦振动的实验研究

弦振动的实验研究

弦是指一段又细又柔软的弹性长线，比如二胡、吉它等乐器上所用的弦。用薄片拨动或者用弓在张紧的弦上拉动就可以使整个弦的振动,再通过音箱的共鸣,就会发出悦耳的声音。对弦乐器性能的研究与改进，离不开对弦振动的研究，对弦振动研究的意义远不只限于此，在工程技术上也有着极其重要的意义。比如悬于两根高压电杆间的电力线、大跨度的桥梁等，在一定程度上也是一根“弦”，它们的振动所带来的后果可不象乐器上的弦的振动那样使我们们感到愉快。对于弦振动的研究，有助于我们理解这些特殊“弦”的振动特点、机制，从而对其加以控制。同时，弦的振动也提供了一个直观的振动与波的模型，对它的分析、研究是处理其它声与振动问题的基础。欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，而后达朗贝尔等人通过对弦振动的研究开创了偏微分方程论。

本实验意在通过对一段两端固定弦振动的研究，了解弦振动的特点和规律。

预备问题

1． 复习DF4320示波器的使用。 2． 什么是驻波？它是如何形成的？

3． 什么是弦振动的模式？共振频率与哪些因素有关？

4． 张力对波速有何影响？试比较以基频和第一谐频共振时弦中的波速。 一、 实验目的：

1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波； 2、学会测量弦线上横波传播速度的方法：

3、用作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张力的关系。

二、实验原理

一根两端固定并张紧的弦，静止时处于水平平衡位置，当在弦的垂直方向被拉离平衡位置后，弦会有回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作用下，弦将在平衡位置附近振动。令弦线长度方向为x轴，弦被拉动的方向（与x轴垂直的方向）为y轴，如图1所示。若设弦的长度为L，线密度为?，弦上的张力为T，对一小段弦线微元dl进行受力分析，运用牛顿第二定律定律，可得在y方向的运动微分方程

T y dl T ?2y?2yT2dx???dx?2 （1） ?x?t若令v?T/?， 上式可写为

2x x+dx 图1

x

?2y1?2y?22 （2） 2?xv?t

1

（2）式反映了弦的位移y与位置x、时间t的关系，其中v(?T/?)代表了在弦线上横波传播的波速。对于两端固定的弦，满足上述方程的解为

n?nvx)cos(2?t)， n?1,2,3,?? （3） L2LnvL若令 fn? ，?n?，（3）式又可写为

2n2Lyn?Ansin(yn?Ansin(2??nx)cos?2?fnt? （4）

两

由（4）式可以看出，fn代表了弦的振动频率，?n代表了在弦上传播的机械波的波长。

端固定的弦的振动具有如下特点：对于某一固定的时间t0，弦的位移随位置的变化为一正弦波形，最大波幅为Ancos (2?fnt0)。对于某一固定的位置x0，弦表现为谐

振动，最大振幅为Ansin (2?x0/?n)。在xo= 0，λ/2，λ，

3λ/2，2λ?等处的波幅为零，具有该种特点的波形，我们称之为驻波。弦上始终为零的点称为波节，两相邻波节间的部分称为波腹，两相邻

波节间的距离正好为半个波长。图2

给出了n分别为1、2、3的三种弦图2 n=1,2,3时的三种振动状态 振动的情形。

从图2不难看出，对于不同的n，其波的形状不同，频率也不同，它代表着弦振动的一个状态。所以，我们把一个个振动状态称之为弦振动的一个本征振动模式。对应于n=1的频率，称为基频，对应于n=2,3,…的频率称为第一谐频、第二谐频，等等。但基频较其他谐频强得多，因此它决定弦的频率，而各谐频则决定弦振动的音色。

弦的任何可能的振动状态都可以视为本征振动的线性叠加，这些本征振动中某一振动的强度会因初始条件或外界激励的不同而有所不同。当用一频率与某一本征振动频率相同的周期性激励迫使弦振动时，弦上与激励频率相同的本征振动强度加强，这就是所谓的共振。我们可以利用弦的共振特性对一些物理量进行测量。如波长、波速等。

当弦上有n个半波区时有（弦长等于半波长的整数倍时产生驻波）

??2Ln （5）

假设此时弦振动的频率为f，弦上横波的传播的速度v，则

v?f??f2L （6） n将v?T/?代入（6）式得弦振动的共振频率与弦长、弦张力和弦线密度的关系

2

??1fT? （7）

或 f?nT （8）

2L?ff?上式中0n为弦振动的基频

1f?故有：02LT? （9）

三、实验仪器

FB301型弦振动实验仪一台、DF4320双踪示波器一台、FB303弦振动信号源一台

图中 1—调节螺杆 2—圆柱螺母 3—驱动传感器 4—弦 5—接收传感器

6—支撑板 7—拉力杆 8—悬挂物块 9—信号源 10—示波器

四、实验内容和步骤

1、研究弦振动时共振频率与弦长的关系

（1）将一根密度已知的弦固定在弦音计上，并在张力杆上悬挂一定质量的砝码，给弦一定的张

力，调张力杆水平，移动两桥的位置，先使弦长为60cm，并把驱动传感器和接收传感器放在适当位置。

（2）按上图连接仪器，开启信号源、示波器预热约10分钟，由低到高调节其输出信号的频率，

当弦上产生n=1、2、3、4、5个半波区的情况下，即弦共振时（示波器上振幅达到最大），记下信号源输出信号的频率（你会发现示波器上读出的频率和信号源上的频率不相等，为什么？哪个是弦的共振频率？）。

（3）保持弦的张力不变，改变弦的长度，使弦长分别为60、 55、45、40cm时重做步骤（2）。 （4）作lnf0与ln L曲线，求出其斜率验证关系式（9）

3

2、研究弦振动共振频率与张力的关系

（1）固定弦长，改变张力，使T=1、2、3、4、5Kmg时，始终使弦线只出现一个驻波，测出共

振频率（基频）。

（2）作lnf0与ln T曲线，求出其斜率验证关系式(9) 3、研究弦共振时弦线的动态线密度

利用表二的数据计算不同张力下弦线的线密度?

4、根据v?f?和v?T/?分别计算波速值，并分析产生误差的原因。 五、数据记录与处理

1、研究弦振动共振频率与弦长的关系

表一 基频与弦长的关系

弦线密度?0= 9.54×10?4kg/m 物块悬挂位置 2 张力= 19.6牛顿 弦长(cm) 60 共振频率f（Hz） 驻波数(ｎ) 波长(cm) lnf0 ln L 55 50 45 40 上表只作基频f0与弦长的对数关系曲线。基频f0是驻波数为1的共振频率 作lnf0与ln L曲线，求斜率验证关系式

4

2、研究弦振动共振频率与张力的关系

表二 基频与张力的关系 弦长(cm) 悬挂位置 1 2 3 4 5 张力(牛顿) 基频f0(Hz) 9.8 19.6 29.4 39.2 49.0 ln f0 ln T 60

以上两表中频率均为信号源的显示值，此值可以用示波器读出后与之比较

作ln f0与ln T曲线验证关系式

3、根据v?f.?和v?T/?分别计算波速值，并分析产生误差的原因

表三 ?=9.54×10-4 kg/m

v?T?(m/s) v?f.?(m/s) 位 置 1 2 3 4 5

六、思考题

1、通过实验，说明弦线的共振频率和波速与哪些条件有关？

5