数列
一、数列的定义：按一定顺序排列成的一列数叫做数列． 记为：{an}．即{an}: a1, a2, … , an．
二、通项公式：用项数n来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。
1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数． 2、通项公式: an=f(n)是an关于n的函数关系． 三、前n项之和：Sn= a1+a2+…+an
(n?1)?s1注求数列通项公式的一个重要方法：an??s?s(n?2)
n?1?n例1、已知数列{100-3n}，
（1）求a2、a3；（2）此数列从第几项起开始为负项．
例2已知数列?an?的前n项和，求数列的通项公式： （1） Sn=n2+2n；（2）Sn=n2-2n-1. 解：（1）①当n≥2时，an=Sn-Sn?1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1； ②当n=1时，a1=S1=12+2×1=3；
③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴an=2n+1为所求.
（2）①当n≥2时，an=Sn-Sn?1=(n2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3； ②当n=1时，a1=S1=12-2×1-1=-2；
??2(n?1)a③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴n=?为所求． 2n?3(n?2)?注：数列前n项的和Sn和通项an是数列中两个重要的量，在运用它们的关
系式an?Sn?Sn?1时，一定要注意条件n?2，求通项时一定要验证a1是否适合
例3当数列{100-2n}前n项之和最大时，求n的值．
?an?0分析：前n项之和最大转化为?a?0．
?n?1
1
等差数列
1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即：an?1?an?d(常数)(n?N?)
2.通项：an?a1?(n?1)d，推广：an?am?(n?m)d．
Sn?3.求和：
n(a1?an)n(n?1)?na1?d．（关于n的没有常数项的二次函数）． 224.中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c
5.等差数列的判定方法
(1)定义法: an?1?an?d(常数)(n?N?) (2)中项法:2an?1?an?an?2 (3)通项法:an?a1?(n?1)d (4)前n项和法:Sn?An2?Bn 练习：已知数列{ an}满足：a1=2,an= an?1+3,求通项an．
例1在等差数列?an?中,已知a4?9,a9??6,Sn?63,求n.
解:设首项为a1,公差为d,
?9?a1?3d?a1?183?63?S?18n?n(n?1)得:n?6或n?7 得则??6?a?8d?d??3n2?1?例2（1）设{an}是递增等差数列，它的前3项之和为12，前3项之积为48，
求这个数列的首项．
分析2：三个数成等差数列可设这三个数为：a-d，a，a+d
2
拓展：（1）若n+m=2p，则an+am=2ap．
推广：从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：a1,a4,a7,a10,???（下标成等差数列）
（2）等和性：am?an?ap?aq(m,n,p,q?N*,m?n?p?q) （3）Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,?组成公差为n2d的等差数列. （4）an=am+（n-m）d
例1 （1）已知a3+a11=20，求a7．
（2）已知a3+a4+a5+a6+a7＝450, 求a2+a8及前9项和S9．
解由等差中项公式：a3+a7＝2a5，a4+a6＝2a5
由条件a3+a4+a5+a6+a7＝450, 得：5a5＝450, ∴a2＋a8＝2a5＝180.
9S9＝(a1?a9)810
2等比数列
1．定义与定义式：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的
an?1?q(q为不等于零的常数) an2．通项公式：an?a1qn?1,推广形式:an?amqn?m．
?na1(q?1)?nS?3．前n项和：n?a1(1?q)?a1?anq(q?0且q?1)
?1?q?1?q数列称作等比数列.
注:应用前n项和公式时,一定要区分q?1与q?1的两种不同情况,必要的时
候要分类讨论．
4．等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G2?ab（G??ac）． 5．等比数列的判定方法： ①定义法：对于数列?an?，若
2?an?是等比数列． ②等比中项：对于数列?an?，若anan?2?an?1，则数列
例1等比数列中a1=2, a3=8，求通项公式；
an?1?q(q?0)，则数列?an?是等比数列. an 3
解：a3?a1q?q2?4?q??2?an?(?2)2n?1??2n或an?(?2)(?2)n?1?(?2)n 例2在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20.
解解方程组可得：q4
=2，a11?q??1， 解法2 由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列计算．
在等比数列?an?中有如下性质: （1）若n+m=2p，则anam=(ap)2。
推广：从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：a1,a4,a7,a10,???（下标成等差数列）
（2）等积性:am?an?ap?aq（m?n?p?q,m,n,p,q?N?）． （3）an=amqn?m
例1在等比数列{an}中，a1?a6?33，a3?a4?32，an?1?an， （1）求an；（2）若Tn?lga1?lga2???lgan，求Tn.
解（1）a111n?26?n （2）Tn?(?2n2?2n)lg2 例2a1?a2?a3?7，a1?a2?a3?8，求an.
解：设{an}的公比为q，由题意知
???a1?aq?a21?a11q?7,??a2解得??a?1,??4,1n?11n?31?a1q?a1q?8,?q?2或??q?1.∴an?2或an?()?22
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数列综合运用
例1公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q．
解: 设等差数列的通项an = a1+(n-1)d (d≠0).
根据题意得 a32 = a2a6即(a1+2d)2 = (a1+d)(a1+5d),
1?d?2da3a1?2d1q???2?3. a??d.所以解得11a2a1?d2?d?d2
例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一
个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．
2?(a?d)?16?a?d?(a?d)2a 解：设这四个数为：a?d,a,a?d,，则?a?2a?d?12??a?4?a?9解得：?d?8或?d??6，所以所求的四个数为：?4,4,12,36；或15,9,3,1．
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职高数列知识点及例题（有答案）
