考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；解直角三角形． 分析：
（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得==，
∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°； （2）四边形AOCD为菱形．由（1）得
=
，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD
是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=的长． 解答：解： （1）连接OC，
∵EC与⊙O切点C， ∴OC⊥EC， ∴∠OCE=90°，
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴
=
=
，
，求得DH
∴∠DAC=∠CAB， ∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行） ∴∠AEC+∠OCE=180°， ∴∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形． 理由是： ∵
=
，
∴∠DCA=∠CAB， ∴CD∥OA， 又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形， ∵OA=OC，
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∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； （3）连接OD．
∵四边形AOCD为菱形， ∴OA=AD=DC=2， ∵OA=OD，
∴OA=OD=AD=2，
∴△OAD是等边三角形， ∴∠AOD=60°，
∵DH⊥AB于点F，AB为直径， ∴DH=2DF，
在Rt△OFD中，sin∠AOD=∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=∴DH=2DF=2．
， ，
点评：本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质以及解直角三
角形，是中学阶段的重点内容． 27．（10分）（2014?西宁）今年5月1日起实施《青海省保障性住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定：公共租赁住房和廉租住房并轨运行（以下简称并轨房），计划10年内解决低收入人群住房问题．已知第x年（x为正整数）投入使用的并轨房面积为y百万平方米，且y与x的函数关系式为y=﹣x+5．由于物价上涨等因素的影响，每年单位面积租金也随之上调．假设每年的并轨房全部出租完，预计第x年投入使用的并轨房的单位面积租金z与时间x满足一次函数关系如下表：
… 时间x（单位：年，x为正整数） 1 2 3 4 5
单位面积租金z（单位：元/平方米） 50 52 54 56 58 （1）求出z与x的函数关系式； （2）设第x年政府投入使用的并轨房收取的租金为W百万元，请问政府在第几年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为多少百万元？
考点：二次函数的应用． 分析：（1）设z与x的一次函数关系为z=kx+b（k≠0） ，然后任取两组数据，利用待定系数
法求一次函数解析式解答即可；
（2）根据租金=单位面积租金×面积列式整理得到W与x的关系式，再整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 解答：解： （1）设z与x的一次函数关系为z=kx+b（k≠0），
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∵x=1时，z=50，x=2时，z=52， ∴解得
， ，
∴z与x的函数关系式为z=2x+48；
（2）由题意得，W=yz=（﹣x+5）（2x+48）， =﹣x2+2x+240，
=﹣（x2﹣6x+9）+3+240， =﹣（x﹣3）2+243， ∵﹣＜0，
∴当x=3时，W有最大值为243，
答：政府在第3年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为243百万元． 点评：本题考查了二次函数的应用， （2）读懂题目信息，列出W关于x的函数关系式并整
理成顶点式形式是解题的关键．
28．（12分）（2014?西宁）如图，抛物线y=﹣x2+x﹣2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF． （1）求点B，C所在直线的函数解析式； （2）求△BCF的面积；
（3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题． 分析：（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B，C的坐标，再根据待定系数法可得点B，
C所在直线的函数解析式；
（2）根据勾股定理可得BC的长，根据旋转的性质和三角形面积公式即可求解；
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（3）存在．分两种情况讨论：①过A作AP1⊥x轴交线段BC于点P1，则
△BAP1∽△BOC；②过A作AP2⊥BC，垂足点P2，过点P2作P2Q⊥x轴于点Q．则△BAP2∽△BCO；依此讨论即可求解． 解答：
解：（1）当y=0时，﹣x2+x﹣2=0，
解得x1=2，x2=4，
∴点A，B的坐标分别为（2，0），（4，0）， 当x=0时，y=﹣2，
∴C点的坐标分别为（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则
，
解得．
∴直线BC的解析式为y=x﹣3；
（2）∵CD∥x轴，BD∥y轴， ∴∠ECD=90°，
∵点B，C的坐标分别为（4，0），（0，﹣2）， ∴BC=
=
=2
，
∵△FEC是由△BDC绕点C逆时针旋转得到， ∴△BCF的面积=BC?FC=×2
×2
=10；
（3）存在．
分两种情况讨论：
①过A作AP1⊥x轴交线段BC于点P1，则△BAP1∽△BOC， ∵点A的坐标为（2，0）， ∴点P1的横坐标是2，
∵点P1在点BC所在直线上， ∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1，
∴点P1的坐标为（2，﹣1）；
②过A作AP2⊥BC，垂足点P2，过点P2作P2Q⊥x轴于点Q． ∴△BAP2∽△BCO， ∴∴
==
，，
=
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解得AP2=∵
=
， ，
∴AP2?BP=CO?BP2， ∴
×4=2BP2，
，
解得BP2=∵
AB?QP2=AP2?BP2，
×
，
∴2QP2=
解得QP2=，
∴点P2的纵坐标是﹣， ∵点P2在BC所在直线上， ∴x=
，﹣），
，﹣）．
∴点P2的坐标为（
∴满足条件的P点坐标为（2，﹣1）或（
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点为：坐标轴上点的坐标特征，待定系数法可求
直线的函数解析式，勾股定理可，旋转的性质，三角形面积，分类思想，相似三角形的性质，综合性较强，有一定的难度．
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西宁中考数学试卷解析版
