第4章 动态电路的时域分析
学习指导与题解
一、基 本 要 求
1．明确过渡过程的含义，电路中发生过渡过程的原因及其实。 2．熟练掌握换路定律及电路中电压和电流初始值的计算。
3．能熟练地运用经典分析RC和RL电路接通或断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。明确RC和RL电路放电和充电时的物理过程与过渡过程中电压电流随时间的规律。 4．明确时间常数、零输入与零状态、暂态与稳态、自由分量与强制分量的概念，电路过渡过程中的暂态响应 与稳态响应。
5．熟练掌握直流激励RC和RL一阶电路过渡过程分析的三要素法。能分析含受控源一阶电路的过渡过程。
6．明确叠加定理在电路过渡过程分析中的应用，完全响应中零输入响应与零状态响应的分解方式。掌握阶跃函数和RC，RL电路阶跃响应的计算。
7．明确RLC电路发生过渡过程的物理过程，掌握RLC串联二阶电路固有频率的计算和固有响应与固有频率的关系，以及振荡与非振荡的概念。会建立RLC二阶电路描述过渡过程特性的微分方程。明确初始条件与电路初始状态的关系和微分方程的解法。会计算RLC串联二阶电路在断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。了解它在接通直流电源时电压和电流的计算方法。
二、学 习 指 导
电路中过渡过程的分析，是本课程的重要内容。教学内容可分如下四部分： 1．过渡过程的概念； 2．换路定律；
3．典型电路中的过渡过程，包括RC和RL一阶电路和RLC串联二阶电路过渡过程的分析；
4．叠加定理在电路过渡过程分析中的应用。
着重讨论电路过渡过程的概念，换路定律，RC和RL一阶电路过渡过程中暂态响应与稳态响应和时间常数的概念，计算一阶电路过渡过程的三要素法，完全响应是的零输入响应和零状态响应，阶跃响应，以及RLC串联二阶电路过渡过程的分析方法。
现就教学内容中的几个问题分述如下。 （一） （一） 关于过渡过程的概念与换路定律 1． 1． 关于过渡过程的概念
电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程，称为过渡过程。电路过渡过程中的电压和电流，是随时间从初始值按一定的规律过渡到最终的稳态值。产生过渡过程的原因，是由于含有储能元件（电容C、电感L以及耦合电感元件）的电路发生换路工作状态突然改变时引起的。因此，“换路”是产生过渡过程的外因，而内因是电路是含有储能元件，其实质是由于电路是储能元件能量的释放与储存不能突变的缘故。电路是的过渡过程，就是换路后电路的能量转换过程。所以，电路产生过渡过程的充分必要的条件是：含有储能元件的电路，发生换路（如t=0时刻换路）之后，即t>0时储能元件的能量必须发生神化,电路是才能产生能量转换的过程.如果电路换路之后，储能元件的能量不发生变化，意味着换路后立即到达稳态，电路就不发生五家渠市过程了。
2． 2． 换路定律
若t=0时刻换路，t=0_表示换路前最后的瞬间,t=0?表示换路后最初瞬间。电压和电流的初始值就是t=0?时的数值，用u(0?)和i(0?)表示。
如果换路时刻电容电流和电感电压都是有限值，则换路时刻电容电压和电感电流不能跃变，即u(0?)?u(0?),iL(0?)?i(0?),这就是换路定律。
关于换路定律应该明确的是：
（1）适用于换路定律的电量，只有电容电压和电感电流，其它电量是不适用换路定律
12的。因为电容电压和电感受电流是电路的状态变量，决定电路的储能状态，即?c=2CuC，
?L?12LiL2。因此，储能不能跃变，必然是电容电压和电感受电流不能跃变。而电路中的
其它电量，如电容电流、电感电压、电阻电压和电流等，过都是非状态变量，在换路时刻是可以跃变的。
（2）换路定律适用电路的条件是，换路时刻电路中的电容电流和电感电压均为有限值，否则换路定律不能应用。这是由电容和电感元件的基本性质所决定的。即伏安特性为
1?uC(0?)?uC(0?)??iCdt?uC?(0?)C0?因t=0时刻电容电流iC为有限值，上式中的积分项为零。
0
1?iL(0?)?iL(0?)??uLdt?iL(0?)L?0
同理，因t=0时刻电感电压uL为有限值，上式中的积分项为零。
否则，如果换路时刻电容电流和电感电压不是的限值，电容电压和电感电流可能跃变。如图4-1（a）所示电路，uC(0?)?0,t?0时刻开关K闭合，则uC(0?)?Us，电容电压
发生强制跃变，必然换路时刻t?0电容电流iC(0)??，为非有限值；又如图4-1（b）所示电路，iL(0?)?0,t?0时刻进行换路，Is输入电感元件L，iL(0?)?Is，电感电流发生强制跃变，必然换路时刻t?0电感电压为uL(0)??，为非有限值。由此可见，换路时刻电容电流和电感电压为非有限值，则电容电压和电感电流可能发生跃变，换路定律不能应用。
t?0KbiC?USCKat?0iLL??uCIS?
uL
(a) (b)
图 4-1 电容电压和电感电流的强制跃变
3．初始值与t?0?电路
我们所讨论的RC和RL以及RLC电路都是适用换路定律的。这类电路换路后电路的初始值，对于电容电压和电感电流而言，求出uC(0?)和iL(0?)后，便可按换路定律求出
uC(0?)和iL(0?)电路时，uC(0?)视为电压源，iL(0?)视为电流源。
4．稳太值与稳态电路
过渡过程结束后，电路中的电压和电流的最终值，就是新的稳定状态的数值，即稳态值。稳态值一般作出过渡过程结束后的稳态电路来求出。如直流电源激励的稳态电路，称为直流稳态电路，这时电路中电容相当于开路，这时按相量法计算出稳态值。
5．电路过渡过程分析的目的与立法
电路中过渡过程分析的目的，主要是研究过渡过程中电压和电流的变化规律。它与动态电路换路后的结构和储能元件的性质、数目及初始储能等有关，由列出和求解描述电路动态过程的微分方程的解来确定。电路过渡过程的分析方法，有经典法和变换域分析法。经典分析法是在时域以待支路的电压或电流为变量，列出电路换路后的微分方程，并直接求解满足初始条件微分方程的解答，得出时间函数的电压电流，本章就是采用这种方法来分析过渡过程问题的，这换域分析法是应用拉普拉斯变换方法来求解电路过渡过程中的电压和电流，这种方法将在第十三章介绍。
（二）关于RC和RL一阶电路过程的分析 1．典型RC和RL一阶电路
含有一个独立储能元件的电路，动态特性是用一阶微分方程来描述，称为一阶电路。如图4-2（a），（b）所示RC和RL串联电路是典型的一阶电路。其它的一阶电路，可以应用戴维南定理等效化简为典型的一阶电路。
2．直流RC和RL一阶电路的微分方程
如果RC和RL电路的激励源是直流电源，称为直流一阶电路。为了分析RC和RL一阶电路过渡过程中电压和电流的变化规律，需根据KVL，KCL和元件VAR列出t?0时电
KKt?0USR?uCt?0USRLiL?
(a) (b)
图 4-2 典型RC和RL一阶电路
路的微分方程。如图4-2(a)所示电路，uS?US，以uC(t)为变量，t?0时电路的微分方程为
RCduC?uC?USdt
这是常系数线性非齐次一阶微分方程。齐次微分方程是
RCduC?uC?0dt
电路换路后过渡过程中的电容电压随时间变化的规律，就是满足初始条件uC(0)微分方程的解。
又如图12-2(b)所示RL电路，uS?US，以iL(t)为变量，t?0时电路的微分方程为
LdiL?RiL?USdt
这是常系数线性非齐次一阶微分方程。齐次微分方程是
LdiL?RiL?0dt
电路换路后过渡过程中的电流iL(t)随时间变化的规律，就是满足初始条件iL(0)微分方程的解。
电路的初始条件，由初始状态来确定。 3．过渡过程是的暂态响应与稳态响应
（1）如图12-2（a）所示RC电路，初始状态uC(0)?U0，且U0?US.t?0时的uC(t)，是以uC(t)为变量常系数一阶非齐次方程的解，包含齐次微分方程的通解uch?Ke非齐次微分方程的特解
?tRC，和
uCp?US。故微分方程的全解为
?tRCuC(t)?uCh?uCp?Ke?US
根据初始条件uC(0)?U0，确定积分常数K。当t?0时，则上式为
uC(0)?K?US?U0
K?U0?US
故最后解出过渡过程中的电容电压为
tRCuC(t)?(U0?US)e上式等号右边第一项(U0?US)e?tRC??US t?0
，按指数规律衰减，当t??时为零，故称为暂态响应，
又称自由分量；第二项US，是与激励电源形式相同，而与时间t无关的恒定值，当t??时，
uC(t)?US，故称为稳态响应，又称为强制分量，由此可见，过渡过程中的电容电压uC(t)可以解为：暂态响应与稳态响应之和。
在工程上，RC电路电容放电过程中的电容电压为
uC(t)?U0e?tRC t?0
?tRC电容放电电压是从初始值U0按指数规律衰减为零，e就是指数规律衰减的因子。
RC电路当uC(0)?0电容充电过程中的电容电压为
uC(t)?US(1?e?tRC) t?0
?tRC电容充电电压是从零按指数规律上升到稳态值US(1?e子。
电路中的电流iC则根据电容零件的VAR得出，即
)就是从零按指数规律增长的因
iC(t)?CduC(t)dt
I0?USR。 t?0时的iL(t)，
（2）如图12-2（b）所示RL电路，若初始状态iL(0)?I0，且是以iL(t)为变量的非齐次微分方程满足初始条件的解，即
tUS?RUiL?(I0?)eL?SRR t?0
tUS?RUSL(I0?)eR式中，是暂态响应；R是稳态响应。
RLC 动态电路的时域分析
