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拉格朗日中值定理在解高考试题中的简单应用
352200 古田县第一中学 黄传杰
新课程中，高中数学新增加了许多近、现代数学思想，这为中学数学传统的内容注入了新的活力，也为解决一些初等数学问题的方法提供了更多的选择．尤其在近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市质检卷中也出现大量的题目可以用拉格朗日中值定理解答.
拉格朗日中值定理：若函数f(x)满足如下条件： （i）f(x)在闭区间[a,b]上连续；（ii）f(x)在开区间(a,b)内可导；
则在?a,b?内至少存在一点?，使得 f'????f?b??f?a?b?a.
本文先面对多数学生介绍中值定理在两种题型上的应用。 一、证明与
f?x1??f?x2?f?x1??f?x2???或??（其中x1?x2）有关的问题。
x1?x2x1?x22a2?alnx. 例1：（2011年福建省质检理19题 ）已知函数f(x)?x?x（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）设a?1,g(x)?f(x),问是否存在实数k，使得函数g(x)上任意不同两点连线的斜率都不小于
'k？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由。
解（Ⅰ）略
（Ⅱ）该题提供的参考答案是：当a?1时， g(x)?1?21?。假设存在实数k，使得g(x)的x2xg(x2)?g(x1)?k,亦即
x2?x1图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k，即对于任意x2?x1?0，都有
21??kx(k?0)，故问题等价于x2x4141即k?3?2对x?0恒成立。（以下同省质检参考答案） h'(x)?3?2?k?0在(0,??)上恒成立。
xxxxg(x2)?kx2?g(x1)?x1,考查函数h(x)?g(x)?kx?1?这种解法对于多数学生仍感到入口难，而应用中值定理多数学生就会感到入口容易得多，解法如下：
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当a?1时，g(x)?1?21?，假设存在实数k，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k，x2xg(x2)?g(x1)?k,由中值定理知存在x?(x1,x2)，有
x2?x1即对任意x2?x1?0，都有
g'(x)?g(x2)?g(x1)41?k,即g'(x)?3?2?k在(0,??)上恒成立。（以下同省质检参考答案）
x2?x1xx例2：（2009年辽宁卷理21题） 已知函数f(x)?12x?ax?(a?1)lnx,a?1 2（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）证明：若a?5，则对任意x1,x2??0,???，x1?x2，有（Ⅰ）略；
（Ⅱ）由中值定理知
f(x1)?f(x2)??1.
x1?x2f(x1)?f(x2)a?1?f'?x0?（x0??0,???）.由（Ⅰ）得，f'?x??x?a?.
x1?x2x所以要证
f(x1)?f(x2)a?1??1成立，即证f'?x0??x0?a???1.下面即证之. Qx0?0?等价证
x1?x2x022明x0?(a?1)x0?a?1?0在x0??0,???上恒成立，令g?x0??x0?(a?1)x0?a?1，则
???a?1??4?a?1???a?1??a?5?.由于1?a?5，所以??0.从而g?x0??0在R恒成立.也即
2x02?ax0?a?1x0?ax0?a?1??x0.又x0??x1,x2?，x1,x2??0,???，故x0?0.则??1，即
x02f'?x0??x0?a?f(x1)?f(x2)a?1??1，也即??1. x0x1?x2 评注：这道题（Ⅱ）小题存在两个难点：首先有两个变量x1,x2；其次a的值是变化的.参考答案的解法是考虑函数g?x??f?x??x.为什么考虑函数g?x??f?x??x？很多考生一下子不易想到.而且g?x?的放缩也不易想到.
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二、证明与f?x1??f?x2????x1?x2?有关的问题
2f(x)?(a?1)lnx?ax?1 例3：（2010辽宁卷理21）已知函数
（I）讨论函数f(x)的单调性；
（II）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，f(x1)?f(x2)?4x1?x2，求a的取值范围。 解：（Ⅰ）略；
（Ⅱ）（参考答案）不妨假设x1?x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
?x1,x2?(0,??)，f(x1)?f(x2)?4x1?x2
等价于?x1,x2?(0,??)，f(x2)?4x2?f(x1)?4x1 ①
a?1?2ax?4 xa?1①等价于g(x)在（0，+∞）单调减少，即?2ax?4?0.
x令g(x)?f(x)?4x，则g'(x)??4x?1(2x?1)2?4x2?2(2x?1)2???2故a的取值范围为（-∞，-2]. 从而a?2222x?12x?12x?1若用中值定理则当?x1,x2?(0,??),x1?x2时，f(x1)?f(x2)?4x1?x2恒成立可转化为
f(x1)?f(x2)a?1'即|f(x)|?4在(0,??)上恒成立，由f'(x)??2ax??22a(a?1) ?4恒成立，
xx1?x2得22a(a?1)?4当a＜-1时恒成立，解得a??2，故a的取值范围为（-∞，-2]. 例4： (2OO6年四川卷理第22题) 已知函数f?x??x?22?alnx(x?0),f?x?的导函数是f'?x?，对任意两个不相等的正数x1,x2，x证明：
（Ⅰ）当a?0时，
f?x1??f?x2?2'?x?x2?f?1?2?? ?（Ⅱ）当a?4时，f证明：
?x1??f'?x2??x1?x2.
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（Ⅰ）略；
（Ⅱ）由f?x??x?222a?alnx得，f'(x)?2x?2?，令g?x??f'?x?则由拉格朗日中值定理xxx得：g?x1??g?x2??g'???(x1?x2)
下面只要证明：当a?4时，任意??0,都有g'????1，则有g?x??2?'4a即证a?4??1，32xx时，a?x?442恒成立.这等价于证明x?的最小值大于4. xx42222由于x??x???334，当且仅当x?32时取到最小值，又a?4?334，故a?4时，
xxx4a2?3?2?1恒成立.
xx2所以由拉格朗日定理得：g?x1??g?x2??g'???(x1?x2)?g'???x1?x2?x1?x2.
评注：这道题用原参考答案的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.
对于尖子生，还可介绍两类用中值定理求解的题型。 三、证明与
f?x?f?x??a或?a（其中x?0）有关的问题 xx例5：（2007年高考全国卷I第20题） 设函数f?x??e?e.
x?x（Ⅰ）证明：f?x?的导数f'?x??2；
f?x??ax ，则a的取值范围是(??,2].
（Ⅱ）证明：若对所有x?0，都有证明：
（Ⅰ）略.
（Ⅱ）（i）当x?0时，对任意的a，都有f?x??ax
ex?e?x(ii)当x?0时，问题即转化为a?对所有x?0恒成立.
xf?x??f?0?ex?e?x?令G?x??，由拉格朗日中值定理知?0,x?内至少存在一点?（从而??0），xx?04
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使得f'????f?x??f?0?x?0，即G?x??f'????e??e??，由于f''????e??e???e0?e?0???0?，
故f'???在?0,x?上是增函数，让x?0 得G?x?min?f'????e??e???f'?0??2，所以a的取值范围是(??,2].
例6：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数f?x??sinx.
2?cosx（Ⅰ）求f?x?的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x?0，都有f?x??ax，求a的取值范围. （Ⅰ）略； （Ⅱ）证明：当x?0时，显然对任何a，都有f?x??ax；当x?0时，
f?x?f?x??f?0?? xx?0由拉格朗日中值定理，知存在???0,x?，使得
f?x?f?x??f?0???f'???.由（Ⅰ）知xx?0.令f''?x??0得，
f'?x??2cosx?1?2?cosx?2，从而f''?x??2sinx?2?cosx??cosx?1??2?cosx?2令f''?x??0得，x??x????2k?1??,?2k?2????；?2k?,?2k?1????.所以在???2k?1??,?2k?2????上，f1'在 ?上，2k?,2k?1??f???x?的最大值??3''11上的最大值是.由f?x?max?f'?2k???.从而函数f'?x?在?fx?2k?,2k?2????????max33'11k?N知，当x?0时，f'?x?的最大值为f?x?max?.所以，f'???的最大值f'???max?.为了使
33'?x?的最大值f'?x?max?f'??2k?2?????1?f'????a恒成立，应有f'???max?a.所以a的取值范围是?,???.
?3?评注：这道题的参考答案的解法是令g?x??ax?f?x?,再去证明函数g?x?的最小值g?x?min?0.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数a,要对参数a进行分类讨论;其次为了判断g?x?的单调性,还要求g?x??0和g?x??0的解,这个求解涉及到反余弦arccos3a,较为复杂.而
''用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了用中值定理解决这类题的优越性. 四、证明与g?a??g?b??2g??a?b????(b?a),?b?a?有关的问题 2??5
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例7：（2004年四川卷第22题）
已知函数f?x??ln(1?x)?x,g?x??xlnx.
（Ⅰ）求函数f?x?的最大值；（Ⅱ）设0?a?b?2a，证明：g?a??g?b??2g?（Ⅰ）略； （Ⅱ）证明：依题意，有g'?x??lnx?1
?a?b???(b?a)ln2. 2????a?b??a?b???a?b?g?a??g?b??2g??gb?g?g?ga?????? ?????222????????由拉格朗日中值定理得，存在???a,??a?b??a?b?,??,b?，使得 ??2?2???b?ab?a?a?b???a?b?'' g?b??g??g?ga?g??g???ln??ln?????????????????22?2???2???ln?b?abb?a4ab?a??ln??ln???b?a?ln2 ?2a2a2评注：对于不等式中含有g?a?,g?b?,g?
?a?b???a?b?的形式，我们往往可以把
?2??a?b??a?b??a?b??a?b?g??gagb?gg?gagb?g和，分别对和???????????????两次运用拉格
2222????????朗日中值定理.
拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理，是解决函数在某一点的导数的重要工具. 把这个定理与中学数学的知识联系起来，这样不仅可以使我们加深对现代数学的理解，而且能使我们更好的把握中学数学的本质，从而可以居高临下的处理教材，为学生学好数学打下良好的基础。
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中值定理在解高考试题中的简单应用
