学科：数学[来源:Z&xx&k.Com][来源:学科网][来源:Zxxk.Com]
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11．什么是高阶导数？
教学内容：导数与微分经点答疑（四）
我们知道函数y?x2的导数是y??2x．而导数y??2x仍是可导的，它的导数是
?y????2．这种导数的导数?y???就称为对y对x的二阶导数．一般地我们有：
函数y＝f（x）的导数y??f??x?仍是x的函数，若函数y??f??x?的导数存在，则称
d2yy??f??x?的导数为y＝f（x）的二阶导数．记作y??或2即
dxd2yd?dy?y????y或2???.
dx?dx?dx???相应地，把y＝f（x）的导数f??x?叫作函数y＝f（x）的一阶导数．
同样，若二阶导数y???f???x?的导数存在，则称其导数为y＝f（x）的三阶导数．记作
d3yy????x?或3,即
dxd3yd?d2y????3???. y?????y???,f????x???f???x??,y???又记作y或3?2??dx?dx?dx……
一般地，若n－1阶导数y?n?1??f?n?1??x?的导数存在，则称其导数为y＝f（x）的n阶
?n?导数．记作ydny,f?x?或n即
dxny?n??y??n?1???,?f?n?1??x????f?n?dnyd?dn?1y??. ?x?或n??n?1??dx?dx?dx这里的n称为导数fn?x?的阶数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．
若y＝f（x）具有n阶导数，也常说成函数f（x）为n阶可导．
由以上高阶导数的定义可以看出，要求n阶导数，需要求出n－1阶导数，要求n－1阶导数，需要求出n－2阶导数，…，要求二阶导数，需要求出一阶导数，因此要求高阶导数，只需要进行一连串通常求导数的运算即可．
例1 求n次多项式f?x??a0xn?a1xn?1???an?1x?an的各阶导数．?a0?0?． 思路启迪 首先求出f（x）的一阶、二阶、三阶等阶数较低的n阶导数，从中找出导数与导数阶数的关系．
规范解法f??x??na0xn?1??n?1?a1xn?2???an?1.f???x??n?n?1?a0xn?2??n?1??n?2?a1xn?3???2an?2.
f?n??x??n!a0可见，每经一次求导运算，多项式的次数就降低一次．继续求导下去，易知：
是一个常数，由此有f?n?1??x??f?n?2??x????0.
即n次多项式的一切阶数高于n的导数都等于零．
例2求y?ex的n阶导数.
规范解法y??ex,y???ex,y????ex,y?4??ex.?n?一般地，可得y
?e.即ex??x?n??e.x
例3证明函数y?2x?x2满足关系式y3y???1?0.
思路启迪 要证明这个等式成立，而在此等式的左边含有y??，只要能正确求y对x的两阶导数y??，将y及y??代入等式左边并验证其为零即可．
规范证法
?y??2?2x22x?x22x?x2?2x?2x?x2??1?x?222x?xy???2x?x21?? 32x?x221??3,y?1于是，y3y???1?y3?3?1?0y?1?x2,??
例4 求y＝sinx的n阶导数．
思路启迪 求sinx的n阶导数的关键是找出n阶导数与导数的阶数的关系，为此我们可以先求出较低n阶导数，从中归纳出导数与导数的阶数的关系即可．
???规范解法y??cosx?sin?x??,2????????y???cos?x???sin?x?2??,2?2???????y?n??sin?x?n??.2??类似方法可得???cosx??n??cos??x?n??.?2?
12．怎样求隐函数的导数？
前面所讨论的函数求导方法，函数都是因变量y已经写成自变量x的明显表达式y＝f（x）的形式，这样的函数称为显函数．但有时我们所遇到的函数关系不是明显地用显函数形式表示的情形．如方程2x＋5y＋1＝0及ey?xy它们都表示x、y之间的函数关系．一般地我们把由方程F（x，y）＝0表示的因变量y自变量x的函数关系式y＝f（x）称为隐函数．对于隐函数，有时可以根据确定隐函数关系的方程找出显函数形式y＝f（x），从而可利用前面的求导方法把它的导数找出来，但有时要把这个隐函数表示成显函数的形式是比较复杂的，有时甚至是不可能的，这时要利用前面的方法求导数就比较困难，甚至不可能，因此，我们有必要寻求隐函数的求导方法．实际上，对于隐函数我们不需要把它表示成显函数的形式，就可以把它的导数求出来．方法是：
将确定隐函数的方程的两端同时对x求导（注意到y表示x的函数），求导过程中，遇到变量y，把y看中间变量，先对y求导，再乘以y对x的导数y?（即遇到变量y要利用复合函数的求导法则）．这样，我们可以得到一个关于y?的一元一次方程，解出y?即可．
例1dy求由方程x2?y2?1所确定的隐函数的导数.
dx思路启迪 由于y是x的函数，可将y写成x的函数的形式y（x），则x2?y2?1可写成x2?y2?x??1.
规范解法方程两端对x求导，把y2看作一复合函数得2x?2y?y??0, x?x?0?.y所以y???
dy例2求由方程ey?xy?1?0所确定的隐函数的导数.
dx思路启迪 由于方程ey?xy?1?0所确定的是y为x的函数，可将y写成x的形式y（x），则该方程可写成ey(x)?xy?x??1?0,于是由隐函数的求导法则得．
规范解法 将方程两端对x求导，并利用函数的求导法则得ey?y??y?xy??0.
则dyy??yx?ey?0. dxe?x??
13．什么是对数求导法？它主要适用于哪些类型函数的求导？
对数求导法是将函数y＝f（x）两端取绝对值（由于求导之后绝对值同时去掉，因此常把取绝对值这一步省略，认为f（x）为正值，即lnf（x）有意义）．然后再两端取对数（取自然对数，它的导数形式比较简单）．这时我们就把它化成隐函数，然后再求出它的导数．这种把显函数取对数化成隐函数再求导的方法称为对数求导法．它常用于由若干因式的积、商或根式组成的函数和幂指函数的求导运算．对数求导法的优点是：它把积变成和，把商变成差，把幂指变成积．易知，和差的求导运算要比乘、商的求导运算简单．具体步骤如下：
（1）两端取绝对值（常略去）之后，再取自然对数． （2）等式两端分别对自变量求导．
(3)等式两端再乘以y，左端即y??x?.
举例如下
例1 求y??f?x??g?x?的导数.?其中f?x??0,f??x?与g??x?均存在?.
思路启迪 在前面我们利用恒等式N?elnN求出了该函数的导数，在此我们将利用隐函数求导法求它的导数．这里可将等式两端取对数首先把它变成隐函数，再利用隐函数求导法． 规范解法 两端取对数lny＝g（x）lnf（x），两端对x求导
y?g?x??g??x?lnf?x???f??x?,yf?x???g?x??y??y?g??x?lnf?x???f??x??
??fx??f??x??g?x????f?x???g??x?lnf?x??g?x??.??fx??
例2求y??x?1??x?2??x?3?的导数.
?x?4??x?5??x?6?思路启迪 该函数是由两个函数的商构成，而商的分子和分母都是由三个函数的积所构成，若直接利用商与积的求导法则就比较麻烦，但若借助于两端取对数，再利用隐函数的求导方法就比较简单．
规范解法 两端取对数
lny＝ln（x－1）＋ln（x－2）＋ln（x－3）－ln（x－4）－ln（x－5）－ln（x－6）, 两端对x求导
y?111111??????,yx?1x?2x?3x?4x?5x?611111??1?y??y?????? ??x?1x?2x?3x?4x?5x?6??x?1??x?2??x?3??1?1?1?1?1?1?????x?4??x?5??x?6??x?1x?2x?3x?4x?5x?6?
14．怎样利用导数判别函数的单调性？
我们知道，如果函数f（x）在区间（a，b）内是增函数或是减函数，那么我们就说函数f（x）在区间（a，b）具有单调性，区间（a，b）称为f（x）的单调区间．那么怎样利用导数判别函数的单调性呢？
设函数f（x）在（a，b）可导，则曲线y＝f（x）处处有切线．如图3-4，曲线上每点的切线与x轴正向的夹角是锐角，即f??x??tan??0,这时函数在（a，b）是增函数．如图3-5曲线上每点的切线与x轴正向的夹角为钝角，即f??x??tan??0,此时函数f（x）在（a，b）是减函数．
一般地，设函数y＝f（x）在区间I内可导，如果对任意的点x∈I，有f??x??0,则f（x）在I内是增函数，若对于任意的点x∈I，有f??x??0,则f（x）在I内为减函数．
例1讨论函数f?x??x3?6x2?9x?2的单调性.
思路启迪 利用导数判别函数单调性，首先要求函数的导数，然后确定导数在哪些范围内是正值，哪些范围内是负值，从而确定出函数的增减区间．
规范解法f??x??3x2?12x?9?3?x?1??x?3?.
令f??x??3?x?1??x?3??0,得x?1或x?3.即当x∈（－∞，1）∪（3，＋∞）时，f（x）是增函数．
令f??x??3?x?1??x?3??0,得1?x?3.
北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(四)
