螺旋理论

基于螺旋理论的空间机构自由度分析

陈振宇 S12080202010 机电3班

(燕山大学机械工程学院 河北秦皇岛)

摘要：本文系统总结和陈述了基于约束螺旋理论的机构自由度分析的原理和方法，经过实践证明，这种方法切实有效，可以解决几乎所有空间自由度问题，相对别的方法而言更具有一般性。此外，这个方法对自由度瞬时性和连续性的判定也非常方便。相对而言，它成为当今有效分析自由度的一般方法，具有重要的科学价值和实用意义。 关键词：螺旋理论 机构自由度 连续性 瞬时性

Degree of Freedom Analysis of Spatial Mechanisms Based on the Screw

Theory

Chen Zhenyu S12080202010

(Mechanical Engineering Academy of Yanshan University Qinhuangdao of Hebei Province)

Abstract：This paper state and summarize in system the method and theory of degree of freedom analysis of spatial mechanisms based on the screw theory, it proved to be true that the effort is correct and merely solute all the problem of degree of freedom of spatial mechanisms, it is an universal method compared to others. In addition, the method is more effective to judge the instantaneity and the continuity of the degree of freedom. Relatively speaking, it becomes a normal and effective method to analyze freedom. The value of science and the practical meaning of it is important.

Key words：The screw theory degree of freedom of spatial mechanisms continuity instantaneity

1 前言

对机构最基本的认识是要知道它的自由度。机构的自由度计算原本是一个简单的问题，应用传统的Kutzbach-Grübler公式就可以获得正确结果，而且仅仅基于算数运算。这个最基本的问题几乎在所有教科书上都有论述。

但是，在机构学发展的历程中，发现了很多机构都不适用于上述公式，尤其是近些年空间机构研究的迅速发展，越来越多的机构无法套用此公式。由此，人们开始寻找新的计算机构自由度的方法。究其原因，认识到这是在机构中存在过约束，而过约束被重复计算了。150年来，人们不断寻找新的普遍适合机构自由度计算的公式和方法，也提出了很多概念。国内也有很多学者进行了非常有意义的研究[2,3]。还有一些学者甚至采取如李代数和群论等现代数学探讨，也取得了一些进展。但这些方法大多很难求解，或者不适用于所有情况。知道这个新世纪的开始，这个问题在国际上仍然一直未能解决。

【1】

本文应用螺旋理论来处理这个问题，表现的比

较简单。黄真教授在1991年出版的著作【4】中提出以反螺旋重新定义公共约束，进行了四杆机构的自由度计算。这样的定义使公共约束有了很明确的物理概念，不仅方便计算，而且能很容易得出机构的阶。在1997年出版的专著中，进一步集中讨论了机构的自由度计算问题。除了以反螺旋定义公共约束外，特别是研究了在构成并联机构时出现的冗余约束，并分析了很多不同阶的过约束机构。形成了完整的“基于约束螺旋理论求解自由度的新方法”。本文集中探讨黄真老师的求解方法。

【5】

2 螺旋理论基础

因为修正的Grübler-Kutzbach公式

【6】

是基于约

束螺旋理论提出的，所以有必要对螺旋理论进行简要的描述。

2.1 螺旋理论的基本概念

如图一所示，一条空间直线的位置和反向可以

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由矢量S表示。在直角坐标系中，S与其3个分量只见的关系为：

S=（x2-x1）i+(y2-y1)j+(z2-z1)k （1） 我们可以用：

rxS=S0 （2）

表示该直线方程，而我们用其次坐标（S;S0）表示直线在空间的位置和方向。我们称此坐标为直线的Plucker坐标，共有六个分量。

而直线用螺旋表示可以表达为如下形式： $=(S; S0)=(S; rxS)=(L M N; p q r) (3) 在一般情况下，节距不为零，用h=S·S0/(S·S)来表示1个螺旋的节距，而S0=rxS+hS0。其中节距为零时就是线矢，可以用来表示1个转动副或者是1个约束力；具有无穷大节距的螺旋表示为$=(0; S)，S是方向矢量，这个螺旋可以表示1个移动副或约束力偶。

由于1个机构中转动副、移动副总是同时存在，而且它们可以分别用线矢量和偶量来表示，因此总结一些不同几何条件下线矢和偶量的相关性是非常有用的。考虑到用Grassmann线几何原理也可以判断线性相关性。表1给出了线矢和偶量组成的螺旋系在不同几何条件下的秩【7】。

2.2 反螺旋的概念

一个刚体被一个螺旋副约束，只允许沿着螺旋作螺旋运动，其运动螺旋为（w1；r1xw1+v1）。设刚体上有一力螺旋（f2；r2xf2+C2），沿着单位螺旋

$0

2=(S2；S2)作用于物体。在运动副所允许的位移上，此力螺旋对物体所做的瞬时虚功率，应等于f2和C2

引起的瞬时功率之和。而这个结果与运动螺旋和力

螺旋的互易积相同。故而可以用力螺旋和运动螺旋的互易积表示两螺旋所产生的瞬时功率。当互易积为零时，即为

w1$1○

f2$2=0 (4)

这表示力螺旋对做螺旋运动的物体的瞬时功率为

零。在这种情况下，无论力及力矩有多大，都不影响物体的运动状态。故称这个与螺旋1构成互易积为零的螺旋2为螺旋1的反螺旋【8】。

归纳出反螺旋有如下性质： 1°不垂直，但相交的反螺旋，节距互为相反数。 2°不垂直但相交的两线矢，一定互逆；平行的线矢也一定互逆。（即共面线失互逆）。

3°垂直相交的两个螺旋，一定互逆。

4°线矢和偶量垂直，才互逆。 5°偶量自逆，不同偶量之间相逆。 6°线矢量自逆。

7°共面，但不相互垂直的两个螺旋在节距互为相反数时互逆。

8°共轴螺旋互逆，节距互为相反数。

9°当给出节距为h1的旋量，在与其空间交错的一条确定的直线上，有唯一的反螺旋，反螺旋的h2是一定值h2=a12tanа12-h1。

10°在空间任意一点都有唯一的线矢量与给定的螺旋相逆。

分析自由度时，一般需根据（4）式求出反螺旋系。 但有时用上述归纳的结论会更加方便。以上结论是对公式（4）的推论。值得注意的是，以上内容不仅对自由度分析很有用，而且对奇异分析和多自由度机构的输入选择也很有帮助。

此外，螺旋的互逆性和线性相关性与坐标系的选取无关。这个原理在自由度分析中十分有用。

3 机构自由度分析

本小节中将首先引出修正的Kutzbach-Grubler公式，并重点介绍公共约束和冗余约束的定义和计算。

3.1 修正的G-K公式【6】

如前所述，自由度计算不能得到正确的结果就是因为机构中存在大量的不起约束作用的过约束。因此在进行机构的自由度分析时，就应该去掉这些过约束。而对于如何去掉这些过约束，则有两种思想。一种是从G-K公式中减去全部过约束：

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gpM?6(n?g?1)??fi?μ （5）

i?1式中μ是过约束的总数。显然，这里是把所有机构都看成是空间机构，然后加上被过多减去的过约束。

另一种思想就是将过约束分为两部分。一部分以公共约束的形式处理，再考虑多环并联机构的附加冗余约束，简称冗余约束，记为ν。表达式为

gM?d(n?g?1)??fi+ν （6）

i?1若再考虑局部自由度，则修正的K-G自由度公式最后表达为：

gM?d(n?g?1)??fi+ν?ξ （7）

i?1这里，M表示机构的自由度；d表示机构的阶数，d=6-λ；n表示包括机架的构件数量；g表示运动副的数目；fi表示第i个运动副的自由度；ν表示多环并联机构在去除公共约束的因素后的冗余约束数目；ξ为机构中存在的局部自由度。

3.2 确定公共约束和机构冗余约束

在应用修正的K-G公式时，一个很重要的因素就是如何确定机构的阶数d。由上文可以看出，机构的阶数仅取决于公共约束数。而我们可以用反螺旋来定义公共约束的概念，而且方便的给出了公共约束数的判别方法【4】。

对单环机构，机构的1个公共约束就是这个机构所有运动螺旋的反螺旋，机构的所有公共约束数为

??rank(s?r)?rank?$｜r$r?$=0,$?S?? (8) 这里，S?指的是机构的运动螺旋系，对单环机构，ν=0。

对于多环并联机构，当目仅当每个分支都能提

供1个相同的约束螺旋作用到运动平台时，这个约束螺旋就是1个公共约束。如果这些约束螺旋都是约束力，它们应该共轴；如果它们是约束力偶，则应具有相同的方向。

1个分支所有的运动螺旋构成1个分支螺旋系，此分支螺旋系的所有反螺旋构成了1个分支约束螺旋系。1个并联机构的约束螺旋系包括所有分支约束螺旋系中的螺旋。当作用于动平台的除公共约束之外的其它L个约束形成K系螺旋时，K≤L，则存在的冗余约束数为L-K。可以用下列公式【7】计算机构的ν

???qi???p?k （9）

1这里，p表示机构的分支数目，qi是第i个分支约束螺旋的数目。

为了简化自由度的分析，在众多自由度计算实例中提取以下几种规律【8】：

1°基于螺旋互逆性和相关性与坐标系的选择无关的原理，做自由度分析时应选择这样的坐标系，使其螺旋坐标元素尽量的简单，出现许多0或1。 2°在螺旋坐标中除去0和1外，还有与机构的尺寸、与轴线的位置有关的变量ai、bi。在做自由度分析时不必解出其具体的数值。否则，需事先给出机构所有尺寸，还需用计算机计算，增加了很多不必要的工作。

3°大多数情况下，依据观察即可得到反螺旋，不需通过计算机计算。

4°利用冗余度计算公式（9）计算并联机构的公共约束及冗余度。

5°在计算第一个分支的运动螺旋和约束反螺旋时，注意选取合适的坐标，使螺旋的表达简单，并易于用观察法直接得到的对应的反螺旋。

6°对于对称的并联机构，在分析了第一个分支后，其他分支的反螺旋可以直接通过观察或简单的逻辑推理得到。

7°对于非对称的并联机构，分别建立各分支的坐标系，用以确定各个分支的螺旋系和对应的反螺旋系。然后通过逻辑推理综合考虑，以求出所有分支。

8°对于分支含有闭环的机构，以广义副代替，并以该广义副来计算机构自由度。 3.3 机构实现确定运动的条件

机构学中的一个基本原理就是机构所采取的输入数目应该与机构的自由度数相等，这样，机构就可以实现确定运动。而当独立输入数小于自由度数，那么机构的运动无法确定；而当独立输入数大于自由度数，机构则会发生输入干涉，增加能耗，严重的甚至出现卡死而无法运动的现象。

但由仿生学，我们可以看到生物或者人体的关节，其输入数都远大于其自由度数，而这种结构显然可以更好，更灵活的进行各种运动。故此，我们在多自由度机器人的研究中，也要采取这种工作方式，可以达到省力，省能以及减少电动机设计容量，因而减少机构的负载以及改善动力性能的目的。这要求实现输入数目多余自由度数的超确定输入。这就是输入仿生。[8]