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∵OB＝OC
∴OH平分∠BOC，即∠BOH＝∠BOC ∵∠FOG＝∠BOH，∠BFG＝∠BOC ∴∠FOG＝∠BFG ∵∠FGO＝∠BGF ∴△FGO∽△BGF ∴
∴FG2＝GO?GB
【点评】本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理．其中第（2）题证明DO∥EA进而得到DO垂直BC是解题关键．
（2019年陇南27题）
27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°． 点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：（SAS），可得AM=EM，又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；△ABM≌△EBM∠1=∠2；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．
问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．
S. . . . . ..
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【答案】解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示：
则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1， ∴△EB1C1是等腰直角三角形，
， ∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°
∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，
+45°=135°， ∴∠M1C1N1=90°
， ∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°
∴E、C1、N1，三点共线， 在△A1B1M1和△EB1M1中，
，
∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS）， ∴A1M1=EM1，∠1=∠2， ∵A1M1=M1N1， ∴EM1=M1N1， ∴∠3=∠4，
，∠4+∠5=45°， ∵∠2+∠3=45°
∴∠1=∠2=∠5，
， ∵∠1+∠6=90°， ∴∠5+∠6=90°
-90°=90°． ∴∠A1M1N1=180°
【解析】
延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1=∠B1C1E=45°，证出
，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出∠B1C1E+∠M1C1N1=180°
A1M1=EM1，得出EM1=M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，∠1=∠2，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论．
此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．
S. . . . . ..
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（2019年25题）
25．（10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：
AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形
ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形． 证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E， 求证：AD2+BC2＝AB2+CD2 证明：∵AC⊥BD，
S. . . . . ..
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∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2； 故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中，，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝3，CG＝4
，BE＝5
，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73， ∴GE＝
．
S. . . . . ..
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【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
（2019年23题）
23．（9分）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段
BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是⊙E的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG； ①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标 ②求
的最大值．
，F2（5，0） （直接写出）；
【分析】（1）连接ED，证明∠EDO＝90°即可，可通过半径相等得到∠EDB＝∠EBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO＝BO＝AO，∠ODB＝∠OBD，得证； （2）①分两种情况：a）F位于线段AB上，b）F位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标； ②应用相似三角形性质和三角函数值表示出
＝
，令y＝CG2（64﹣
CG2）＝﹣（CG2﹣32）2+322，应用二次函数最值可得到结论．
【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC为圆的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BDA＝90° ∵OA＝OB ∴OD＝OB＝OA ∴∠OBD＝∠ODB ∵EB＝ED
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2019年中考数学压轴题汇编(几何1)解析版 - 图文
