.. . .. . .
∵OB=OC
∴OH平分∠BOC,即∠BOH=∠BOC ∵∠FOG=∠BOH,∠BFG=∠BOC ∴∠FOG=∠BFG ∵∠FGO=∠BGF ∴△FGO∽△BGF ∴
∴FG2=GO?GB
【点评】本题考查了三角形外心定义,圆的切线判定,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行线的判定和性质,垂径定理,等腰三角形三线合一,圆周角定理.其中第(2)题证明DO∥EA进而得到DO垂直BC是解题关键.
(2019年陇南27题)
27.阅读下面的例题及点拨,并解决问题:
例题:如图①,在等边△ABC中,M是BC边上一点(不含端点B,C),N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN.求证:∠AMN=60°. 点拨:如图②,作∠CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边△BEC,连接EM.易证:(SAS),可得AM=EM,又AM=MN,则EM=MN,可得∠3=∠4;△ABM≌△EBM∠1=∠2;由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5,又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,即:∠AMN=60°.
问题:如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点(不含端点B1,C1),N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,且A1M1=M1N1.求证:∠A1M1N1=90°.
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【答案】解:延长A1B1至E,使EB1=A1B1,连接EM1C、EC1,如图所示:
则EB1=B1C1,∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1, ∴△EB1C1是等腰直角三角形,
, ∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°
∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,
+45°=135°, ∴∠M1C1N1=90°
, ∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°
∴E、C1、N1,三点共线, 在△A1B1M1和△EB1M1中,
,
∴△A1B1M1≌△EB1M1(SAS), ∴A1M1=EM1,∠1=∠2, ∵A1M1=M1N1, ∴EM1=M1N1, ∴∠3=∠4,
,∠4+∠5=45°, ∵∠2+∠3=45°
∴∠1=∠2=∠5,
, ∵∠1+∠6=90°, ∴∠5+∠6=90°
-90°=90°. ∴∠A1M1N1=180°
【解析】
延长A1B1至E,使EB1=A1B1,连接EM1C、EC1,则EB1=B1C1,∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1,得出△EB1C1是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1=∠B1C1E=45°,证出
,得出E、C1、N1,三点共线,由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出∠B1C1E+∠M1C1N1=180°
A1M1=EM1,得出EM1=M1N1,由等腰三角形的性质得出∠3=∠4,证出∠1=∠2=∠5,∠1=∠2,得出∠5+∠6=90°,即可得出结论.
此题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识;本题综合性强,熟练掌握正方形的性质,通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键.
S. . . . . ..
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(2019年25题)
25.(10分)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由;
(2)性质探究:如图1,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD.试证明:
AB2+CD2=AD2+BC2;
(3)解决问题:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形
ACFG和正方形ABDE,连结CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.
【分析】(1)根据垂直平分线的判定定理证明即可; (2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可;
(3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算. 【解答】解:(1)四边形ABCD是垂美四边形. 证明:∵AB=AD,
∴点A在线段BD的垂直平分线上, ∵CB=CD,
∴点C在线段BD的垂直平分线上, ∴直线AC是线段BD的垂直平分线, ∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂美四边形;
(2)猜想结论:垂美四边形的两组对边的平方和相等. 如图2,已知四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为E, 求证:AD2+BC2=AB2+CD2 证明:∵AC⊥BD,
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∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°, 由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,
∴AD2+BC2=AB2+CD2; 故答案为:AD2+BC2=AB2+CD2.
(3)连接CG、BE, ∵∠CAG=∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE, 在△GAB和△CAE中,,
∴△GAB≌△CAE(SAS),
∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90°, ∴∠ABG+∠AME=90°,即CE⊥BG, ∴四边形CGEB是垂美四边形, 由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2, ∵AC=4,AB=5, ∴BC=3,CG=4
,BE=5
,
∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73, ∴GE=
.
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【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用,正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.
(2019年23题)
23.(9分)已知在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(﹣3,0),C(﹣3,8),以线段
BC为直径作圆,圆心为E,直线AC交⊙E于点D,连接OD.
(1)求证:直线OD是⊙E的切线;
(2)点F为x轴上任意一动点,连接CF交⊙E于点G,连接BG; ①当tan∠ACF=时,求所有F点的坐标 ②求
的最大值.
,F2(5,0) (直接写出);
【分析】(1)连接ED,证明∠EDO=90°即可,可通过半径相等得到∠EDB=∠EBD,根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO=BO=AO,∠ODB=∠OBD,得证; (2)①分两种情况:a)F位于线段AB上,b)F位于BA的延长线上;过F作AC的垂线,构造相似三角形,应用相似三角形性质可求得点F坐标; ②应用相似三角形性质和三角函数值表示出
=
,令y=CG2(64﹣
CG2)=﹣(CG2﹣32)2+322,应用二次函数最值可得到结论.
【解答】解:(1)证明:如图1,连接DE,∵BC为圆的直径, ∴∠BDC=90°, ∴∠BDA=90° ∵OA=OB ∴OD=OB=OA ∴∠OBD=∠ODB ∵EB=ED
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2019年中考数学压轴题汇编(几何1)解析版 - 图文
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