.. . .. . .
（2019年23题）
23．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC； （2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2?h3．
【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论； （2）由（1）的结论得出
，进而得出
，即可得出结论；
，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，
（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出判断出
，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC， ∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC 又∠APB＝135°， ∴∠PAB+∠PBA＝45° ∴∠PBC＝∠PAB
又∵∠APB＝∠BPC＝135°， ∴△PAB∽△PBC
（2）∵△PAB∽△PBC ∴
在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴∴
S. . . . . ..
.. . .. . .
∴PA＝2PC
（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E， ∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，
∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270° ∴∠APC＝90°， ∴∠EAP+∠ACP＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90° ∴∠EAP＝∠PCD， ∴Rt△AEP∽Rt△CDP， ∴∴h3＝2h2
∵△PAB∽△PBC， ∴
， ，即
，
∴∴
．
即：h12＝h2?h3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠
EAP＝∠PCD是解本题的关键．
S. . . . . ..
.. . .. . .
（2019年27题）
27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON． （1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP＝∠OPN；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．
【分析】（1）根据题意画出图形．
（2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证．
（3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD＝NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD＝a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH＝MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH＝a+a＝+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以OP＝2为条件，利用构造全等证得ON＝QP． 【解答】解：（1）如图1所示为所求．
（2）设∠OPM＝α，
∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN ∴∠MPN＝150°，PM＝PN
∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α ∵∠AOB＝30°
∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α ∴∠OMP＝∠OPN
（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：
过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2 ∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°
S. . . . . ..
.. . .. . .
∵∠AOB＝30°，OP＝2 ∴PD＝OP＝1 ∴OD＝
∵OH＝+1
∴DH＝OH﹣OD＝1 ∵∠OMP＝∠OPN
∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN 即∠PMD＝∠NPC 在△PDM与△NCP中
∴△PDM≌△NCP（AAS） ∴PD＝NC，DM＝CP
设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1 ∵点M关于点H的对称点为Q ∴HQ＝MH＝x+1
∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x ∴OC＝DQ
在△OCN与△QDP中
∴△OCN≌△QDP（SAS） ∴ON＝QP
【点评】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质．第（3）题的解题思路是以ON＝QP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP＝2为条件构造全等证明ON＝QP．
（2019年28题）
28．（7分）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果的部或边上，则称
为△ABC的中弧．例如，图1中
上的所有点都在△ABC是△ABC的一条中弧．
S. . . . . ..
.. . .. . .
（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝
，D，E分别是AB，AC的中点，画出△
ABC的最长的中弧
，并直接写出此时的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点． ①若t＝，求△ABC的中弧
所在圆的圆心P的纵坐标的取值围；
②若在△ABC中存在一条中弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的部或边上，直接写出t的取值围． 【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中弧即以DE为直径的半圆，
的长即以DE为直径的圆周长的一半；
（2）根据三角形中弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t＝时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值． 【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中弧连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点， ∴BC＝∴弧
＝＝×2π＝π；
＝4，DE＝BC＝×4＝2，
，
（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，
①当t＝时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），
设P（，m）由三角形中弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1， ∵OA＝OC，∠AOC＝90° ∴∠ACO＝45°， ∵DE∥OC
∴∠AED＝∠ACO＝45°
作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝
根据三角形中弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求； ∴m≤
综上所述，m≤或m≥1． ②如图4，设圆心P在AC上， ∵P在DE中垂线上，
∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，
S. . . . . ..
2019年中考数学压轴题汇编(几何1)解析版 - 图文
