山东省2024届高三开学质量检测
数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A?A．
?xlnx?1?，B??xx
B．
2?4x?12?0，则A??
C．
?RB??（ ）．
D．
???,6?
??2,6? ?0,6? ?0,e?
2．已知复数z?1?i，z为z的共轭复数，则A．
3?i 2 B．
1?i 2
1?z?（ ）． z1?3i1?3iC． D．
223．马林·梅森（Marin Mersenne，1588-1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2森在数论方面的这一贡献，将形如2pp?1作了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅
）的素数，称为梅森素数．在不超过40的素数中，随?1（其中p是素数．．．
机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ）． A．
5 11 B．
1 6 C．
9 22 D．
1 224．已知参加2024年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z近似地服从正态分布N绩落在
?453,99?，估计这些考生成
2?552,651?的人数约为（ ）．
?N??,?2?，则P?????Z??????0.6827，P???2??Z???2???0.9545）
B．72027
C．108041
D．168222
（附：ZA．36014
5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1009这1009个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列A．100项
B．101项
C．102项
?an?，则该数列共有（ ）．
D．103项
6．已知△ABC中，AB?4，AC?43，BC?8，动点P自点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止，
动点Q自点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍．若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中AP?AQ的最大值是（ ）． A．
7 2 B．4 C．
49 2 D．23
1
7．已知直线A．
by?kx?b恒在函数y?ln?x?4?的图象的上方，则的取值范围是（ ）．
k
B．
?3,??? ???,3?
C．
???,3?
D．
?3,???
8．已知
m?R，过定点A的动直线mx?y?0和过定点B的动直线x?my?m?3?0交于点P，则
PA?3PB的取值范围是（ ）．
A．
?10,210??
B．
?10,30??
C．??10,30
?
D．???10,210?
二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．若a?0，b?0，且a?b?4，则下列不等式恒成立的是（ ）． A．0?11? ab4 B．ab?2
C．
11??1 ab D．
11?
a2?b2810．将函数f?x??cos??x???ππ???0的图象向右平移个单位长度后得到函数g?x?的图象，且???2?2g?0???1，则下列说法正确的是（ ）．
A．g?x?为奇函数
?π???0 ?2?B．g??C．当??5时，g?x?在?0,π?上有4个极值点
D．若g?x?在??0,π?上单调递增，则?的最大值为5 ??5?x2y2??1，过其右焦点F的直线l与双曲线交于两点A，B，则（ ）． 11．已知双曲线C:916A．若A，B同在双曲线的右支，则l的斜率大于B．若A在双曲线的右支，则C．
4 3FA最短长度为2
AB的最短长度为
32 3D．满足
AB?11的直线有4条
?AC?2，AB?3，?BAC?90?，点D，E分别是线段BC，
12．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1B1C上的动点（不含端点），且
ECDC?，则下列说法正确的是（ ）． B1CBC2
A．ED//平面ACC1
B．四面体A?BDE的体积是定值 C．异面直线B1C与AA1所成角的正切值为D．二面角
13 2A?EC?D的余弦值为
4 13三、填空题：
13．高三一班周一上午有四节课，分别安排语文、数学、英语和体育．其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有______种． 14．已知四面体为______． 15．已知数列
A?BCD中，AB?CD?5，AC?BD?10，BC?AD?13，则其外接球的体积
?an?满足?an??cosn?cosSsin1?，?an?的前n项的和记为Sn，则60?______．
S30?n?1??16．某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为
23?1，3?3，3?1（单位：cm），则三个圆之间空隙部分的面积为______cm．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列（1）求数列（2）数列bn?an?的前n项和为Sn?321n?n． 22?an?的通项公式；
??lgan?，?x?表示不超过x的最大整数，求?bn?的前1000项和T1000．
18．在①
bcosB?1?，②2bsinA?atanB，③?a?c?sinA?csin?A?B??bsinB这三个条件中任选a3sinA一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______． （1）求角B；
（2）若a?c?4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积．
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山东省2024届高三开学质量检测-数学试题
