光电信息学院 激光原理课程综合设计 2705104008 卢峥
二次谐波转换输出效率的影响因素分析
摘要：强度较弱的光场（如普通光源的光场）在与物质进行交换时，物质对光场仅呈现线性
响应，即人们所熟悉的线性光学；自本世纪60年代激光出现后，体现出物质对光场的非线性效应，在对它的唯像描述中，将非线性光学介质中感应极化强度P展开为外光场E的幂级数
（1）（2）（3）（1）（2）形式，即P=? E+?E2+?E3+??..式中?为线性电极化率；?为二次线性电极化
（3）率；?为三次线性电极化率。本文将主要通过理论计算分析二次谐波转换输出效率的影响
因素。
关键词：非线性光学 二次谐波转换 电极化率 耦合波方程 光倍频 有效非线性系数
相位匹配
一、 引言
自从激光问世以来，非线性光学频率变换就一直是这一领域的研究热点之一，因为它不仅具有重要的学术意义，而且具有重要的应用价值，近年来这一领域又不少的重要突破，其主要表现是一批新型优质非线性光学和激光晶体的发明，以及使用这些晶体的非线性光学频率变换的飞速发展。各种倍频激光器产品化和广泛应用被认为是具有代表性的例子。倍频在大气污染遥测、光谱研究、光化学和同位素分离等研究中都有重大贡献，因此，对影响倍频输出转换效率的因素进行分析，具有重要的实用意义。
本文主要从理论分析、数学推导等几个角度，对影响倍频转换效率的因素进行了分析。
二、倍频的理论基础
2.1非线性光学基础
强度较弱的光场（如普通光源的光场）与物质相互作用时，物质对光场仅呈现线性响应，
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即人们所熟悉的线性光学；用线性极化强度矢量P=?0?1? E描述这种相互作用（??1?为线性电极化率）。此时，产生的各种光学现象，如折射、散射、吸收等与光场成线性关系；而表征物质光学性质的许多特征参量，如折射率、吸收系数、散射截面等可看成是与光场强度无关的常量。描述光波在物质中的传播及光波与物质相互作用的宏观麦克斯韦方程组也是一组线性微分方程组，即只含光场强度矢量的一次方项。据此推断并为实验证实，单一频率的光波在非吸收的透明介质中传播是频率不变；光的叠加原理及光传播互不干扰性成立。这就是已为人们所熟悉的线性光学内容。自本世纪60年代激光出现后，这种强光场就体现出物质对光场的非线性效应，这种与光强有关的光学效应，通常称为非线性光学效应，在对它的唯像描
（1）（2）述中，将非线性光学介质中感应极化强度P展开为外光场E的幂级数形式，即P=? E+?（3）（1）（2）（3）E2+?E3+……..式中?为线性电极化率；?为二次线性电极化率；?为三次线性电极
化率。
2.2、非线性电极化率与二次谐波
非线性电极化率描述了非线性介质对外光场的响应特性，是非线性光学中最基本的、最重要的物理量，“物理光学”用经典线性谐振子模型导出了线性极化率的表达式
?????Ne2?m12??2??2i????0
式中，γ为阻尼系数；?0是振子的固有频率；e是电子电荷；N是电子密度；m是电子的质量。对于非线性极化，其方程可以表示成线性谐振子运动方程加上非谐和项，若用A表示非谐和效应参数，则非简谐运动方程为：
e??2r?2?r??0r?Ar2??E?t?
m当给定E（t），解出r由感应极化强度P=-Ner及P和电场E的幂级数形式，求出P和电
?极化率?。考虑?1和?2两种频率光，利用微扰法逐步求解，可以解得
E2??n?Ne3A P?2?0??222222m?????2i??????4??4i???0nn0nnNe3A1??2?n??
m2??2??2?2i???2??2?4?2?4i???0nn0nn? 2 / 6
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可以看出，线性响应的特点是频率为?1和?2的光场在非线性介质中的感应的电极化强度，不仅具有?1和?2的分量，还具有频率2?1 ,2?2 , ?1+?2的分量。这些极化强度分量作为次波辐射源，其中辐射出2?1,2?2的电磁波就是非线性光学中的倍频光学效应，其波即二次谐波。
2.3、电磁波在非线性介质内的传播
非线性光学想象实质上是辐射场与介质的非线性互作用所致，各种非线性现象的具体规律必然与电磁波在非线性介质中的传播规律密切相关。在前面讨论中，将式中的极化强度P用线性部分PL和非线性部分PNL表示，可以得到
?2PNL?2E????E??0?2???c
?t?t2该式即为光波在非线性介质中传播的波动方程，它反映了介质中诸电磁波之间的耦合作用，其结果是使不同电磁波之间发生能量转移或产生新频率的电磁波。设互作用的光波为单色平面波，则其振幅不随时间变化。此时，将光波电场与极化强度代入得到每个频率分量的波动方程，其中采用慢变化近似得到方程如下：
2dEn?z?i?0?n?enPNL??n,z?exp??iknz? dz2kn这就是描述电磁波在非线性介质内彼此间产生参量互作用的基本关系式──耦合波方程。下面以二次非线性光学效应中三波互作用为例，说明耦合波方程的物理意义。设三个波的频率分别为?1、?2、?3（?3=?1+?2），其波矢量都沿z方向在非线性作用下介质内产生这三个频率的非线性极化强度可写为
?PNL(?1,z)?2?0????1;?2;?3?e2e3?E3??3,z?E2??2,z?exp??i?k3?k2?z??
PNL(?2,z)?2?0????2;??1;?3?e1e3?E3??3,z?E1???1,z?exp??i?k3?k1?z?? PNL(?3,z)?2?0????3;?1;?2?e2e1?E1??1,z?E2??2,z?exp??i?k1?k2?z??
由上面两组式子可以得到三波耦合方程：
dE1?12??i2?effE3E2exp??i?kz? dzk1c 3 / 6
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2dE2?2?i2?effE3E1?exp??i?kz? dzk2c2705104008 卢峥
dE3?32?i2?effE1E2exp?i?kz? dzk3c式中 ?k?k1?k2?k3
?eff?e1?????1;??2,?3?e2e3?e2?????2;??1,?3?e2e1?e3?????3;??1,?2?e2e1
稳态三波耦合方程组说明，在非线性介质内三波互作用过程中，某频率的光波随传播距离的变化率，是另两个频率的光波场强的函数，即不同频率的光波在非线性介质中，可以发生能量的互相转移，这种能量的相互转移时通过非线性介质的有效非线性电极化率?eff来耦合的。
2.4、光倍频
设由频率为?1和?2的光波混频产生?3=?1+?2频率的光波。根据小信号近似，可以认为在光波混频的过程中，频率为?1和?2的光波场强的该变量足够小，小到他们在三波耦合过程中可视为常数。那么稳态三波耦合方程组式中只剩下关于频率?3的光波的第一个方程：
?32dE1??i2?effE3E2exp??i?kz? dzk1c2dE2?2?i2?effE3E1?exp??i?kz? dzk2cdE3?32?i2?effE1E2exp?i?kz? dzk3c设非线性介质长度为L，并认为入射端（z=0）E3=0，则对上式积分，并以?3?2?ck3?2?n3?3，
?3代入，得
E3?i2??effL????kL??kL??LEEsinexpi?k???12??? ?22?3n32??????当?1??2??，?3?2?时，就是倍频过程，通常把频率为ω的光波称为基波，频率为2ω
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的光波称为倍频或者二次谐波。倍频的功率密度
I2??8?2L2deff2n?n2???c?022I?2???kL??kL??sin?2?2?
????2其中，deff为有效线性系数，与?eff关系相同。用输出的倍频光功率密度I2?与基波光功率密度I?之比表征转换效率，称为倍频效率?SHG，即
?SHG?I2?I????kL??kL??2I???sin?2? 22n?n2???c?0????28?2L2deff2??kL??kL由上式可以看出，若相关因子sin?=1，则光波混频所产生的新频率的光功率?22??与两输入光波功率的乘积成正比；当基波功率一定时，则与非线性介质长度L和有效非线性
??kL??kL极化率??eft?的平方成正比。而当?k=0时，相位因子sin?才能等于1，称为相位?2?2?匹配条件；而当?k≠0时，称为相位不匹配，相位因子小于1。只有在相位匹配条件下，可获得最高转换效率。
二、 结论
通过对二次谐波转换输出的过程进行理论计算分析，得知二次谐波转换输出效率与相位
??kL??kL因子sin?、入射光频率ω、介质长度L和有效非线性极化率??eft?有关，当相位因?22??子达到相位匹配时可以达到最大效率；在相位因子一定时，则与；两个输入光波功率的乘积成正比关系；当基波功率一定时，则与介质长度L和有效非线性极化率成正比关系。
三、 参考文献
【1】 周炳琨.高以智.陈惆嵘.陈家骅. 《激光原理》. 北京：国防工业出版社，
2000.10；
【2】 蓝信钜. 《激光技术》. 北京：科学出版社，2000；
【3】 姚建铨. 《非线性光学频率变换及激光谐调技术》. 北京：科学出版社，
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二次谐波转换输出效率的影响因素分析
