统计学基础 第五章 动态数列分析
【教学目的】
1.区分不同种类的动态数列
2.熟练掌握计算平均发展水平的各种方法
3.掌握发展速度、增长速度的种类，运用它们之间的数量关系进行动态指标的相互推算 4.理解趋势的意义，运用长期趋势测定方法对长期趋势进行测定 5.计算季节比率，并且深刻理解季节比率的经济含义 【教学重点】
1.总量指标动态数列的种类和特点 2.动态比较指标和动态平均指标的计算 3.动态数列的分析方法 【教学难点】
1.绝对数时间数列中的时点数列平均指标的计算 2.相对数、平均数时间数列动态平均指标的计算 3.动态数列分析方法中的季节变动分析方法 【教学时数】
教学学时为12课时 【教学内容参考】
第一节 动态数列的意义和种类
一、动态数列的概念
将某一个统计指标在不同时间上的各个数值，按时间先后顺序排列，就形成了一个动态数列，也叫做时间数列。动态数列一般由两个基本要素构成：一是被研究现象所属的时间；二是反映该现象的统计指标数值。
通过编制和分析动态数列，首先可以从现象的量变过程中反映其发展变化的方向、程度和趋势，研究其质量变化的规律性。
其次，通过对动态数列资料的研究，可以对某些社会经济现象进行预测。 第三，利用动态数列，可以在不同地区或国家之间进行对比分析。
编制和分析动态数列具有非常重要的作用，这种方法已成为对社会经济现象进行统计分析的一种重要方法。 【案例】
下面图表列举了我国2004～2007年若干经济指标的动态数列。
表5-1 我国2004-2007年若干经济指标 指标 年份 国内生产总值（亿元） 年底人口数（万人） 粮食产量(万吨) 职工年平均货币工资(元/人) 城市居民家庭年人均可支配收入 全社会固定资产投资（亿元） 2004年 159878.3 129988 46946.95 16025 9421.6 70477.4 2005年 183867.9 130756 48402.19 18364 10493 88773.6 2006年 210871 131448 49747.89 21001 11759.5 109998.2 2007年 249530 132129 50148.3 24932 13786 137239.01 二、动态数列的种类
按照构成动态数列的基本要素———统计指标的表现形式不同，动态数列可分为绝对数动态数列、相对数动态数列和平均数动态数列三种类型。其中绝对数动态数列是基本的数列，相对数和平均数动态数列是派生数列。
(一)绝对数动态数列
在这种动态数列中，统计指标值表现为总量指标。根据指标值的时间特点，又可分为时期数列和时点数列。国内生产总值就是时期数列，年底人口数就是时点数列。 1.时期数列
时期数列中，每一指标值反映在一段时期内发展的结果，即“过程总量”。其主要特点是： 第一，可加性。时期数列中，各个时间上的指标值可以相加，结果表示现象在较长一段时间的“过程总量”。如全年的国内生产总值是一年中每个月国内生产总值相加的结果，各月份的国内生产总值又是月份内每天的国内生产总值之和。
第二，指标值的大小与其所属的时间长短有直接关系。由于时间数列具有可加性，故每一指标值所属的时间越长，指标值越大；反之，指标值则越小。
第三，指标值采用连续登记的方式取得。在时期数列中，各指标值反映现象在一段时间内发展的结果，因而必须把该时段内现象所发生的数量逐一登记，并进行累计，这样才能得到所需的指标值。
2.时点数列
时点数列中，每一指标值反映现象在一定时点上的瞬间水平。如年底人口数的动态数列中，各个指标值说明在各年年末这一时点上人口数所达到的水平。其主要特点是：
第一，不可加性。时点数列中，不同时点上的指标值不能相加，因为各时点上的指标值只表明现象在该时点上所处的状态，相加后的数值并不能代表现象在这几个时点上的状态，故相加是没有意义的。
第二，指标值的大小与其时点间隔的长短没有直接联系。在时点数列中，两个相邻指标值所属时点的差距称为时点间隔。时点数列不具有可加性，时点间隔的长短对指标值大小没有直接影响，例如，年末的人口数未必比某月底的人口数大。编制时点数列时决定时点间隔长短的因素是现象的变动状态，变动较大或较快的现象，间隔应短些；否则间隔可以长些，确定时点间隔时，以能反映现象的变化过程为宜。
第三，指标值采用间断登记的方式获得。依照时点数列的性质，只要在某一时点进行统计，取得的资料就代表现象在该时点上的数量水平；不同时点上的资料用来反映现象的发展过程，无须对两个时点间现象所发生的数量逐一登记。 (二)相对数的动态数列
在这种动态数列中，统计指标值表现为相对指标，它可以反映相互联系的现象之间的发展变化过程。例如，不同时间的城镇居民家庭年人均可支配收入就是相对数的动态数列。在相对数动态数列中，由于各个指标值对比的基数不同，所以不具有可加性。 (三)平均数的动态数列
在这种动态数列中，统计指标值表现为平均指标，它可以反映现象一般水平的发展趋势。例如，不同时间的职工年平均货币工资就是平均数动态数列。平均数动态数列中的各个指标值也不能相加，因为相加所得的数值没有实际的经济意义。 三、动态数列的编制原则
编制动态数列的目的是通过对数列中的一系列指标数值进行动态分析来研究社会经济现象的发展变化及其规律性。因此，保证动态数列中各指标值的可比性是编制动态数列的基本原则，具体来说编制动态数列时应遵守以下几条原则：
1.时间长短要相等。对于时期数列此原则是指各指标值涵盖的时间长度要相同，因为此时时期的长短直接决定了指标值的大小，时期长短不同指标值便不可比，例如，一个月的销售额和一年的销售额就不能比较。对于时点数列此原则是指各指标值对应的时点间隔要相同，虽然时点数列指标值的大小与时点间隔长短没有直接联系，但保持相同的时点间隔才能准确地反映现象的变化状况。
2.总体范围要一致。无论是时期数列还是时点数列，指标值的大小都与现象总体范围有关系。如果随着时间的推移，现象总体范围发生了变化，如地区的行政区域划分或部门隶属关系变更，那么在变化发生前后，指标的计算范围不同，指标值就不能直接对比。只有经过适当调整保持了总体范围的一致性，进行动态比较才有意义。
3.经济内容要一致。指标的经济内容是由其理论内涵所决定的，随着社会经济条件的变化，同一名称的指标，其经济内容也会发生改变。编制动态数列时不注意这一问题，对经济内容已发生变化的指标值不加区别和调整，就可能导致错误的分析结论。例如，1993年以前产品成本是指生产产品的完全成本，而1993年以后产品成本是指产品的制造成本。
4.计算方法要统一。对于指标名称、总体范围和经济内容都相同的指标，计算方法不同也会导致极大的数值差异，如按生产法、支出法和分配法计算的国内生产总值，结果就有很大差别。因此，同一动态数列中，各个时期（时点）指标的计算方法要统一。
第二节 动态数列的水平指标
一、发展水平
发展水平是指动态数列中的各项指标数值，它反映现象在一定时期内或时点上所达到的规模或水平，是计算动态分析指标的基础。
发展水平一般是时期或时点总量指标，如：国内生产总值、在册工人数等；也可以是平均指标，如：单位产品成本、平均库存额等；还可以是相对指标，如：流动资金周转次数等。设动态数列各项指标数值为：a0,a1,a2,a3,…，an 。
用符号a代表发展水平，下标0，1，2，3，…，n表示时间序号，a0 为最初水平，a n 为最末水平，在最初水平和最末水平之间的称为中间水平。
在动态分析中，将所要研究时期的指标数值称为报告期水平，将作为比较基础时期的指标数值称为基期水平。
发展水平在文字上习惯用“增加到”、“增加为”、“降低到”、“降低为”来表述。 如2007年某地区普通高校在校生人数29.77万人，2008年增加到45.05万人。 二、平均发展水平
平均发展水平是一种序时平均数或动态平均数，是对动态数列中各时间上的发展水平计算的平均数。序时平均数与一般平均数（静态平均数）既有共同之处，又有区别。共同之处是二者都抽象了现象的个别差异，以反映现象总体的一般水平。 【案例】
2008年某地区农村居民年人均纯收入为4513元，它就是把各农村居民的收入差异抽象化了，反映全体农村居民收入的一般水平；再如，第四次人口普查到第五次人口普查的十年零四个月中我国大陆人口平均每年增加1279万人，它是把人口增加数在不同年份上的差异抽象化了，反映人口增长的一般水平。二者的区别在于：一般平均数抽象的是总体各单位的某一数量标志值在同一时间上的差异，从静态上说明现象总体各单位的一般水平；序时平均数抽象的是现象在不同时间上的数量差异，从动态上说明现象在一定时期内发展变化的一般趋势。由于发展水平可以是绝对数、相对数或平均数，而绝对数又有时期指标和时点指标，因此，用它们计算序时平均数时方法各不相同。
(一)由绝对数动态数列计算序时平均数 1.由时期数列计算序时平均数
时期数列具有可加性，其计算序时平均数的方法就比较简单，常用简单算术平均法，将各时期指标数值的总和除以时期项数。其计算公式为 a??a
n
2.由时点数列计算序时平均数
要精确计算时点数列的序时平均数，就应掌握每一时点的资料，但实际上这是不可能的。在社会经济统计中一般是把一天看做一个时点，即以“天”作为最小时间单位。这样便有连续时点数列和间断时点数列的区别。
资料逐日登记且逐日排列的是连续时点数列；资料不是逐日登记，而是间隔较长一段时间（月、季或年）后再登记一次，然后依次排列的是间断时点数列。这两种数列的类型不同，计算序时平均数的方法也不同。
(1)由连续时点数列计算序时平均数。连续时点数列有两种登记方式：
第一种是时点数列的资料是逐日登记且逐日排列的，即已掌握了整个考察期内连续性的时点数据，因此可以采用简单算术平均法来计算序时平均数，即以各时点指标值之和除以时点项数。其计算公式为
a??a
n【案例】
某系学生星期一至星期五出勤人数资料见表5-4.计算该系学生本星期五天平均出勤人数。 表5-4 某系学生出勤人数资料 时间 人数（人） 星期一 240 星期二 244 星期三 242 星期四 249 星期五 250 a??a?240?244?242?249?150?245（人）
n5 第二种是时点数列资料登记的时间仍是一天，只是在指标值发生变动时才记录一次。此时就
要用每次资料持续不变的时间长度为权数进行加权平均。其计算公式为 a??af ?f5-9 1140 10-16 1106 17-24 985 25-30 1020 【案例】
某企业2008年11月份产品库存额资料见表5-5，计算该企业11月份平均产品库存额。
时间 产品库存额 1-4 1080 a?1080?4?1140?5?1106?7?985?8?1020?6?1058.73(千克)
4?5?7?8?6(3)由间断时点数列计算序时平均数。间断时点数列也有两种登记方式：
第一种是每隔一定的时间登记一次，每次登记的时间间隔相等。下面以一个具体的例子来说明在这种情况下序时平均数的计算。 【案例】
某企业2008年第一季度职工人数资料见表5-6。计算该企业第一季度平均职工人数。
表5-6 某企业2008年第一季度职工人数资料
日 期 月初职工人数（人） 1月1日 1400 2月1日 1420 3月1日 1450 4月1日 1440 解决这一问题的思路是：
首先求出各月的平均职工人数，然后再对各月平均职工人数计算平均数。
求各月平均职工人数时，按理应该计算该月内平均每天的职工人数，但由于未能掌握该月内
每天的职工人数资料，所以只能在一定的假设条件下推算。即把下月初的职工人数看成是本月末的职工人数，并假定各月内职工人数的变动是均匀的，每月的平均职工人数就等于月初数加月末数除以2，这样，可计算出2005年该企业第一季度平均每月职工人数为
1400?14201420?14501450?1440??222a??1430(人)
3经过上述讨论，可以得出间隔相等的间断时点数列序时平均数的计算公式为
aa1?a2?????an?1?n2 a?2n?1 这种方法也称做“首末折半法”，它便于应用，实际计算中主要采用这一形式。
第二种是登记的时间间隔不相等。序时平均数的计算也可以采用“两次平均”的思路，且第一次的平均计算与时间间隔相等的时点数列相同；进行第二次平均时，由于各时间间隔不相等，所以应当用各时点间隔长度作为权数，计算加权算术平均数，其计算公式为
a?a3a?ana1?a2?f1?2?f2?????n?1?fn?1222? a?f1?f2?????fn?1?af?fiii
【案例】
某城市2008年的外来人口资料见表5-7。计算2008年该城市的平均外来人口数。 表5-7 某城市2008年的外来人口资料
日期 外来人口数（万人） 1月1日 13.53 5月1日 13.87 8月1日 14.01 12月31日 13.37 13.53?13.8713.87?14.0114.01?13.37?4??3??5222a??13.76(万人)
4?3?5 (二)由相对数动态数列或平均数动态数列计算序时平均数
由于相对数动态数列和平均数动态数列是由两个具有相互联系的总量指标动态数列对比构成的，因此相对数或平均数动态数列，不能像总量指标动态数列那样直接计算平均水平，而是要先分别计算出分子、分母两个总量指标动态数列的序时平均数，然后再进行对比，求出相对数或平均数动态数列的序时平均数。其计算公式为： c?a b 构成分子、分母的动态数列可以都是时期数列；也可以都是时点数列；也可以一个是时期数列，一个是时点数列。现举其中的一种情况说明其计算方法。 【案例】
某大型超市第一季度商品销售额与月初商品库存额资料见表5-8。
表5-8 某大型超市第一季度商品销售额与月初商品库存额资料
月 份 商品销售额（a） 月初商品库存额（b） 商品流转次数（c） 单 位 万元 万元 次 1月 120 50 2 2月 220 70 2.75 3月 350 90 3.5 4月 — 110 — 计算该大型超市第一季度月平均商品流转次数。
统计学基础 第五章 动态数列分析
