含绝对值的不等式的解法
教学目的：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法
1、 教学重难点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不
等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算 2、 教学过程;
（一）主要知识：
1.绝对值不等式的性质：(a∈R)
(1)|a|≥0(当且仅当a＝0时取“＝”)； (2)|a|≥±a； (3)－|a|≤a≤|a|； (4)|a2|＝|a|2＝a2； a|a|(5)|ab|＝|a||b|，|b|＝|b|.
2．两数和差的绝对值的性质： |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
特别注意此式，它是和差的绝对值与绝对值的和差性质．应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件． |a＋b|＝|a|＋|b|?ab≥0； |a－b|＝|a|＋|b|?ab≤0； |a|－|b|＝|a＋b|?(a＋b)b≤0； |a|－|b|＝|a－b|?(a－b)b≥0.
3．解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式．解法如下： (1)|f(x)|＜a(a>0)?－a＜f(x)＜a； (2)|f(x)|＞a(a＞0)?f(x)＜－a或f(x)＞a； (3)|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x)； (4)|f(x)|＞g(x)?f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x)； (5)|f(x)|＜|g(x)|?[f(x)]2＜[g(x)]2.
(6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x－a|＋|x－b|＜m(m为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
（二）主要方法：
1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；
2．去掉绝对值的主要方法有：
（1）公式法：|x|?a (a?0)??a?x?a，|x|?a (a?0)?x?a或x??a． （2）定义法：零点分段法；
（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． （三）例题分析： 例1．解下列不等式：
（1）4?|2x?3|?7；（2）|x?2|?|x?1|；（3）|2x?1|?|x?2|?4
练习．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为( )
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4) C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)
例2．（1）对任意实数x，|x?1|?|x?2|?a恒成立，则a的取值范围是 ； （2）对任意实数x，|x?1|?|x?3|?a恒成立，则a的取值范围是 ．
例3．已知A?{x||2x?3|?a}，B?{x||x|?10}，且A??B，求实数a的取值范围．
3、 课后作业：
xx的解集是 ；|2x?3|?3x的解集是 ； |?1?x1?x(2)设xy<0，x，y∈R，那么正确的是( ) A．|x＋y|>|x－y| B．|x－y|<|x|＋|y| C．|x＋y|<|x－y| D．|x－y|<||x|－|y||
练习．(1)|
例1解：（1）原不等式可化为4?2x?3?7或?7?2x?3??4，∴原不等式解集为[?2,?)（2）原不等式可化为(x?2)?(x?1)，即x?（3）当x??22127(,5]． 211，∴原不等式解集为[,??)． 221时，原不等式可化为?2x?1?2?x?4，∴x??1，此时x??1； 21?x?2时，原不等式可化为2x?1?2?x?4，∴x?1，此时1?x?2； 25当x?2时，原不等式可化为2x?1?x?2?4，∴x?，此时x?2．
3综上可得：原不等式的解集为(??,?1)(1,??)． 例2解：（1）可由绝对值的几何意义或y?|x?1|?|x?2|的图象或者绝对值不等式的性质|x?1|?|x?2|?|x?1|?|2?x|?|x?1?2?x|?3得|x?1|?|x?2|?3，∴a?3； 当?（2）与（1）同理可得|x?1|?|x?3|?4，∴a?4． 例3解：当a?0时，A??，此时满足题意；
当a?0时，|2x?3|?a?3?a3?a2?x?2，∵A??B， ?∴?3?a??2??10?a?17?3?a，
??2?10综上可得，a的取值范围为(??,17]．
审核：
高三一轮复习讲义
