14．广而深的静水池中竖立一固定细杆，其露出水面部分套着一个长度为L、密度为ρ、截面均匀的匀质细管，细管可沿杆无摩擦地、竖直上下滑动，因套在杆上，不会倾倒。现在用手持管，使管的下端刚刚及水面接触，放手后管竖直下沉，设水的密度为ρ1，不计水的阻力和表面张力。
（1）当管的密度ρ等于某一值ρ0时，管能下沉到刚好全部没入水中。求ρ0
（2）在
ρ = ρ0的情形下，管下沉所经历的时间等于什么？
2
ρ，求管下沉到最后位置所需的时间。 31
（3）设管的密度ρ =
⑴若ρ ≥ ρ1，管将下沉到池底，因此，只有ρ < ρ1，才可能符合题给的条件。管下沉时，其重力势能减小，同时，在管全部沉没以前，管所排开的水可以认为静止地移到池面，这部分水的重力势能增加。管沉没的开始阶段，其动能增加，以后动能减小，到下沉停止时动能为零。按题意，若ρ = ρ0，则当管下沉到其下端的深度为L(管刚好全部没入水中)时即停止下沉。
设管的截面积为S，则管的重力势能减小△E = ρ0SLg· L ①
这时管所排开的水增加的重力势能等于所排开水柱的质量乘以其重心上升的高度，即
L △E1 = ρ1SLg· ② 2
不计水的阻力时，可以认为下沉过程中管及水的总机械能守恒。因始末动能均为零，应有 △E = △E1
1
即 ρ0SL2g = 2 ρ1SL2g
③
1
所以有 ρ0 = 2 ρ1
④
⑵考虑管下沉的运动。当管下端的深度为x(x ≤ L)时，管受重力ρSLg、浮力ρ1Sxg作用，这时管所受向下的力为F = Sg(ρL - ρ1x ) ⑤
11 / 15
若x = x0，管受力为零，则由上式可得 x0 = 管入水后的向下的加速度可求得为a =
ρ
L ⑥ ρ1
Fρxg
= g ( 1 - · ) = - ( x - x0 ) ⑦ ρSLρ1Lx0
1 L
代入ρ = ρ0 = 2 ρ1，得 x0 = 2 ⑧
a = -
2g L
( x - 2 ) L
L
可见管入水后应做竖直方向上的简谐运动。管的平衡位置在x = x0 = 2 。
由⑨式可得周期 T = 2π
L 2g
L (10) 2g
T
管下端由x = 0到x = L(全部没入水中)所需时间t为半个周期，即 t = 2 =π
1
⑶这时ρ > 2 ρ1，管在全部没入水中后还将继续下沉，但全部入水后的政党过程中浮
力不再，其运动的加速度及全部没入水中前不同，应把管的下沉过程为两个阶段来考虑。 i)管从开始下沉到刚好全部没下水中(x ≤ L)。
2
这一创优中，在ρ = ρ1的情况下，第⑵问解法中的⑤⑥⑦各式均适用。因此这一阶
3段中管按简谐运动规律运动，其平衡位置是 x = x0 = 简谐运动的周期为 T = 2π
x0
= 2πg
2x0
3g
ρ2
L = L (11) ρ13
2
由静止开始时，管离平衡位置的距离为 x0 = L
32
故简谐运动的振幅为 A = L
3
利用参考圆可求出这一阶段的下沉运动所需的时间。当管刚好全部没入水中时x = L，22π
已越过平衡位置。在参考圆中，设质点沿半径为A = L圆周以角速度ω = 运动，质点
3T在x轴上的投影代表管下端的运动。由图可得，在管下端由x = 0下沉到x = L时，质点运2π
动所转过的角度为，所以管下沉的第一阶段所需的时间为
32π3T
t1 = T = =
2π3
33
()π2
L g
12 / 15
当x = L时，管仍向下运动，其速度υ可根据能量考虑求出，采用第⑴问中的解法，但因
1 1
此时管有动能，故有 ρSL2g - 2 ρ1SgL2 = 2 ρSLυ2
得到 υ2 = ( 2 - =
gL 2
ρ1
)gL，所以 υ ρ
ii)管继续下沉到最低位置。 运动的这一阶段中，浮力等于ρ1SLυ不变，向下加速度为
(ρ -ρ1)SLgg
= - SL2
a =
这里加速度为负值，可见管向下以初速度υ做匀减速直线运动，设它下沉到最低位置所需的时间为t2
1
由υ = - at2 = 2 gt2求得 t2 =
2L g
综上所述，管下沉到最低位置共需时间为t = t1 + t2 + t3 = [
15．有一半径为R = 0.128m的玻璃半球，过球心O并及其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿主
轴放置一细条形发光体A1A2（A2离球心O较近），其长度为l = 0.020m。若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去（如图4-8所示），可以看到条形发光体的两个不很亮的像（此外可能还有亮度更弱的像，不必考虑），当条形发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上随着移动。现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，接在一起，此时条形发光体的近端A2距球心O的距离为a2= 0.020m。
13 / 15
33
()π + 2]2
L g
试利用以上数据求出构成此半球的玻璃的折射率n。（计算时只考虑近轴光线） 求半球外任一个在轴上的光点A的上述两个像。 平面反射像在A′处，如图所示， OA′ = OA = a
凹面镜反射像K求法如下：
⑴A点发出的光经平面折射后进入玻璃，射向凹面镜，对凹面镜来说，相当于光线从B点射来，。令OB = b，则 b = na ①
R
⑵令OC = c，对凹面镜来说(光心应在半径顶点O′处)，焦距f = ，物距u = b + R，
2像距υ = R – c。代入成像公式得到 解出c得 c =
112 + = b + RR - cR
bRnaR
= ② 2b + R2na + R
由此可以看出，C点在半球之内。
⑶由C点发出的光线，经折射穿出玻璃外时，由外面观察其像点在D处。令OD = d，aR 1
则d = n c = ③
2na + R
D点就是人眼所看到的光点A经凹面镜反射所成的像。
条形发光体A1A2经平面反射成的像设为A1′A2′，经凹面镜反射所成的像设为D1D2，根据③式所得的a及d间关系，可知D2离球心O比D1和A2′都近。所以当二像恰好头尾相接时，其位置应如图所示，即D1及A2′重合。OD1 = OA2′ 即
a1R
= a2 ④
2na1 + R a1 - a2L
R = R ⑤ 2a1a22a1a2
式中a1为A1距球心O的距离。由此得n =
代入已知数据得 R = 0.128m，L = 0.020m，a2 = 0.020m，a1 = a2 + L = 0.040m，得到折射率 n =
14 / 15
0.020
×0.128m = 1.60
2×0.020×0.040
15 / 15
第四届全国中学生物理竞赛预赛第一试试卷全word且一流作图水平
