综合以上分析，可以得到问题二的动态规划模型如下：
cos ??n’
min β=90°? arcsin ’ ?arctan ’ sin??l1n
h
τ≤ τ
σ≤ σ
S(??′?2??1’)+2??1’????????1’>π??2 ′
?? ??? ?????′
??n2 ????????n’
5.2.3模型的解决
运用lingo软件，编写程序（详见problem2），我们可以得到各木条与桌面夹角及各木条开槽长度如下表4所示：
表4 各木条与桌面夹角及各木条开槽长度
（24） 第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根第9根第10根开槽长度（cm）相对桌面角度（rad）01.2554844.0185631.3703949.8730591.52035314.506131.62566318.272271.70345421.304161.76134923.67041.80403525.412211.83399126.555571.85303927.116051.862204 由表4知，第1根木条即桌脚与水平面夹角为1.255484rad,对应为71.934°
5.3问题三的模型建立和解决
考虑实际情况，桌子堆放物品时，桌面各点承受力相同，所以桌子应该是前后、左右对称,这里和问题一、问题二一样，我们仅研究四分之一桌子即可。 对于客户给定的桌面边缘线函数y=f(x),应该满足 f(x)是关于y轴对称的。
(1)参数的确定
木条根数t：
t=（取整）
dw
（其中d为木条宽度）
第n个木条到木板边沿的距离an：
d
an= ???1 ???+ ???1 ??+（n为整数）
2第n根木条到桌面轴线的距离cn：
14
y F(x) x
从上图知，第n根木条到桌面轴线的距离cn即为木条（上图黑线）与椭圆交点。
在这里，设计加工参数我们依然按照第二问求最优的，即产品稳固性好、加工方便、用材最少，因此，借用问题二模型，我们可以求出此条件下的折叠桌平板尺寸、钢筋位置、开槽长度、桌角角度。
现根据我们所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。 （1）椭圆桌
我们只需要研究四分之一桌面，这里取椭圆第一象限部分：
??22
y= 1?(2)
??我们把函数代入MATLAB程序，可以得到动态变化过程的示意图如下图10：
15
图10椭圆形折叠桌8张动态图
我们利用和问题一类似的解决方法，可以得出最长木条（桌角）相对桌面不同角度时，其余木条的旋转角度，如表1。
接着，我们运行lingo（problem3）程序（见附录），求最优设计参数。从运行结果我们可以得到椭圆桌各木条与桌面夹角及各木条开槽长度，如表5：
表5椭圆桌各木条与桌面夹角及各木条开槽长度
第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根第9根开槽长度（cm）相对桌面角度（rad）01.2140313.191291.4247585.4305221.5530277.0406861.6363028.1022121.6874488.6483811.7126698.6930481.71478.2372261.6937517.2695771.647554 以及木板长×宽×高=119.1196 cm×50cm×3cm
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六、模型评价及改进
6.1模型评价
6.1.1问题一模型评价
问题一建立的是几何模型，运用了勾股定理的数学知识，用简单的方法去解决复杂的问题，简明易懂。本模型主要解决了木条长度、开槽长度、木条旋转角度，及折叠桌的动态变化过程。该模型基于严密的数学推导，求解过程严瑾，结果可信度高，说服力强。
6.1.1问题二模型评价
问题二模型是基于问题一的，进一步的理论推导，从材料力学角度，围绕稳固性、用材最少、加工方便，对木条作受力分析，解决了在桌子高度、半径确定情况下，桌脚与水平面的夹角，以及开槽长度。模型理论严谨，假设大胆合理。
6.1.3问题三模型评价
问题三模型综合了问题一的几何模型和问题二的非线性规划模型，巧妙使用用MATLAB软件、lingo软件编写程序，可以根据客户提供的信息，设计他们自己的创意平板折叠桌。
6.2模型改进
由于题目信息量不足，对于不同材料，木条截面承受轴力N、弯矩M共同作用的强度是不同的，如果是在实际生活中，这些量是已知的，所以对于问题二的应力约束条件，现在做已下改进，使之更完善。
根据材料力学的假定[8]，单一均质材料矩形截面杆构件截面承受轴力N、弯
矩M共同作用的强度条件如下:
σmax=
N+MA
Wz
≤[σ]
式中σmax为木条征截面最大正应力;N为木条正截面所受轴力;A为木条正截面面
积;M为木条正截面所受弯矩;Wz为木条抗弯截面系数; [σ]为材料许用应力(假设许用拉应力与许用压应力相等)。
考虑右边的不等式部分，将不等式两边都同时除以σ，可得:
σmax=
NA[σ]
+
MWz[σ]
≤1
由于
N0=A? σ
M0=Wz? σ
式中:N0为构件正截面轴力承载力;M0为构件正截面抗弯承载力。
故式(26)可写为:
??????0
+
??0
≤1
而构件截面同时承受轴力N、弯矩M,剪力v时，截面上的正应力与剪应力计算如下:
17
25） 26） 27） 28）29） （（（（ （ σ=
??+
?? ??
????
ε=????
式中: ε为构件正截面剪应力;v为构件正截面所受剪力。
求得最大主应力与最小主应力为:
σ1=σσ
22
+ （2
）+ε2
根据第三强度理论：
σr3
=σσ2
1?σ3=2 （2）+ε2≤[σ]
可得：
（σ
）2
2
[σ]22
+ε≤
4
将式(30)、式(31）入式(34)，可得:
(NMA
+
Wz
)2+4(V
)2≤[σ]2A
不等式左边第一个括号内两项分子分母同时乘以[σ]，第二个括号内一项分子分母同时乘以[ε]，可得:
(
N[σ]M[σ][ε]V2
N0
+
M0
)2
+4(
V0
)≤[σ]2
式中，V0为构件斜截面抗剪承载力，V0=[ε]?A。不等式两边同时除以[σ]2，得:
(
N 2V
N0
+
MM0
)2+4
ε[σ2(V0
)2]
≤1 由式(29)、式(37)可见，单一均质材料矩形截面杆件截面承受轴力、弯矩、
剪力等复合作用时，截面的强度条件可用下式夫示:
f(
N
V
N0,
M
M0,
V0
…)≤1
对于拉弯剪构件,易损性系数为f(N
M
V
N0
,M0
,V0
…)≤1,其值越大则构件越容易受损。
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（30） （31） （32） （33） （34） （35） （36） （37） （38） 七、参考文献
[1]汪晓银，周保平，数学建模与数学实验（第二版），北京：科学出版式，2012.8 [2]汪晓银，邹庭荣，周保平，数学软件与数学实验（第二版），北京：科学出版
式，2012.8
[3] 姜启源，叶其孝，数学建模，北京：机械工业出版社，2009.8。 [4] 同济大学数学系，高等数学（第二版）上册，上海：同济大学出版社，2009.10 [5] 薛定宇，陈阳泉，高等数学问题的MATLAB求解，北京：清华大学出版社,2008 [6]刘鸿文，材料力学Ⅰ（第5版），北京：高等教育出版社，2010.6 [7] 胡运康，景荣春，理论力学，北京：高等教育出版社，2006.5
[8] 黄靓，王鉴，陈永亮，李登,一种简化的结构鲁棒性量化方法,工程力学，第
30卷第10期，文章编号:1000-4750(2013)10-0046-08，2013.10
源程序引索
问题一源程序
MATLAB程序： problem1_1.m problem1_2.m problem1_3.m
问题二源程序
Lingo程序： problem2.lg4
问题三源程序
MATLAB程序： Problem3_1 Problem3_2
Lingo程序： Problem3.lg4
注：m文件是Matlab程序，lg4文件是Lingo程序
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2014年数学建模国家一等奖优秀论文
