z
y O
x 图6 坐标示意图
a. x坐标的确定
考虑到编程的需要，这里直接以数组的形式表示木条桌脚x坐标，记为：
x=[x1,x2,……,x19]
因为每根木条的长度都垂直于x轴（如坐标中红线所示），可以得到：
x1=0
x2=x1+d+?x x3=x2+d+?x
……
????=?????1+d+???(n=2,3,……,19)
0.5b. y坐标的确定
将桌子投影到xoy平面，根据几何关系可以得到木条桌脚y坐标
y=[y1,y2,……,y19]
其中：
??n=0.5l’cosαn?[lncosαn?0.5(??h0)tanαn] 0.5
c. z坐标的确定
将桌子投影到zoy平面，根据几何关系可以得到木条桌脚z坐标
z=[z1,z2,……,z19]
其中：
????=(???0)???nsin????(??=2,3,……,19)
综合以上分析，运用MATLAB编程（详见problem1_3.m），绘制桌角边缘线如图7：
9
8） 9） 10）（（0.5（ 2015z105015105y010020x305040
图7 桌角边缘线
为了更精确的描述桌角边缘线，我们可以调用MATLAB拟合工具箱，用多项式拟合得到桌角边缘线函数和拟合图形，如图8所示：
图8 桌角边缘线函数和拟合图形
拟合函数：
Linear model Poly33: f(x,y) = p00 + p10*x + p01*y + p20*x^2 + p11*x*y + p02*y^2 + p30*x^3 + p21*x^2*y + p12*x*y^2 + p03*y^3 Coefficients (with 95% confidence bounds): p00 = -5.983e-007 (-0.0002297, 0.0002285) p10 = 1.153 (1.15, 1.155) p01 = 0.0173 (0.01688, 0.01771) p20 = -0.02427 (-0.02431, -0.02422) p11 = 0.02388 (0.02366, 0.02411) p02 = 0.006276 (0.006155, 0.006397) p30 = -4.035e-018 (-1.075e-007, 1.075e-007) 10
p21 = -0.0005028 (-0.0005075, -0.0004981) p12 = -4.395e-017 (-6.067e-007, 6.067e-007) p03 = -3.146e-005 (-4.434e-005, -1.859e-005)
我们还可以得到拟合效果的分析，如表3所示：
表3 拟合效果的分析 拟合类型 误差平方和 复相关系自由度 协方差 均方根误差 数 三维拟合 9.2402×10?8 1.000 9 1.0133×10?4 0 当误差平方和和均方根误差越小，复相关系数越接近于1时标明拟合的越好。由上表可知，误差平方和为9.2402×10?8，均方根误差为0，都很小，复相关系数为1，说明拟合效果很好。
5.2问题二的模型建立和解决 5.2.1模型准备 (1)符号说明 dd:木条厚度 ??′:木条宽度 ??′:木条根数
???′:木条间的缝隙
s：钢筋位置到桌面圆心的径向距离 H:钢筋位置到桌面的径向距离 ??′:木板长度 S:支撑面积
（2）参数确定
木条根数??′(取整)：
??′=??′??′ 缝隙???:
???′
=?????′??′??′?1
按照问题一同样的处理方法，我们可以得到： 第n个木条与桌面铰接处到桌面轴线距离：
cn′
=
(R2
)2
?[R
2
? n?
1 d′+?x′ ]2
0.5则第n个木条与第n-1个第n个木条与桌面铰接处到桌面轴线距离：
?c0.5n′=cn+1′?cn′
再由几何关系可以得到第一根木条与水平方向夹角??1’：
α1’=arcsin?(h
l1
’)
0.511
11）12）13） （ （ （ 钢筋位置到桌面的径向距离H:
H=s·sin?(α1’)
每根木条旋转角度:
0.5（14） ??n=arctan
’
s
′′s·cos(??1’)? n1(????+1?????)
0.5（15）
接着，和第一问相同的处理方法，我们可以得出开槽长度：
????????????????=
′
?′’′
?(??? ??2?????)
0.5（16） ????????n
5.2.2模型的建立 （1）目标函数：
我们知道，钢条对每根木条都有作用力，当桌子上有物品时，该作用力表现为支持力，方向朝上，为帮助理解，我们作出桌子受力示意图如图9所示：
Fh Fy Fn Ft
Fx 图9 桌子受力示意图
????=????+????=????+????（粗体表示矢量）
而????、????可由每根木条受到的钢筋对它的作用力的分解再加和得到：
????= F0cos?(??n’) ????= F0sin?(??n’)
(其中F0为钢筋对木条的作用力，我们知道该作用力大小相等，这里用F0表示)
于是，我们可以得到合力的方向与竖直方向的夹角：
θ=arctan F0cos ??n’ cos ??n’
F0sin ??n
’
=arctan
sin ??n
’
为了使桌子稳固，合力的方向与桌腿方向（斜向上）应该尽量靠近，也就是它们之间的夹角β=90°? ??1’?θ 尽量小，我们可以以此为目标函数：
min β=90°? ??1’
?θ =90°?[arcsin h
cos ??n’
l1
’ ?arctan sin ??n
’
]
12
（17）（18） （2）约束条件： ① 应力约束
剪应力是指物体由于外因（受力、湿度变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从形变后的位置回复到形变前的位置。
抗拉强度即表征材料最大均匀塑性变形的抗力，拉伸试样在承受最大拉应力之前，变形是均匀一致的，但超出之后，材料开始出现缩颈现象，即产生集中变形，对于没有（或很小）均匀塑性变形的脆性材料，它反映了材料的断裂抗力。
在这里我们知道受力最大的是四个桌角，如果四个桌角能够承受剪应力和抗拉强度，则可以说明桌子是稳定的。
根据定义，我们可以得到剪应力和抗拉强度的数学表达式。 剪应力τ：
τ=
??????′×dd 抗拉强度σ：
σ=
??????′×dd
其中b为木条宽度，dd为木条厚度。在要判定零件或构件受载后的工作应力
过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。所以应该有剪应力小于许用剪应力，抗拉强度小于许用抗拉强度。即：
τ≤[τ] σ≤[σ]
其中[τ]为许用剪应力，[σ]为许用抗拉强度。
② 支撑面积
桌面支撑面积指桌子四条腿所在点按直线连接的形成几何的面积（这里的支撑面积为矩形），支撑面积越大，桌子稳固性越好。在这里我们以桌面支撑面积大于桌面面积为约束条件。 支撑面积S:
S=(??′?2??1’)+2??1’cos??1’
应该满足：
S>????2
即：
S(??′?2??1’)+2??1’????????1’>π??2
③ 长度限制
结合实际情况，第n根木条的开槽长度不可能比木条本身长，则有：
????????????????′
即：
?′
??
????????? ??? ???′
n
’?? n 2
13
19） 20） 21）22）23）（（（ （ （
2014年数学建模国家一等奖优秀论文
