4.2问题二分析
题目要求从折叠桌的稳固性好、加工方便、用材最少三个角度，确定设计加工参数。我们可以从应力、支撑面积考虑稳固性，从开槽长度考虑加工方便，从木板长度考虑用材最少。而它们之间又是相互制约，我们需要确定最优设计加工参数，可以建立非线性规划模型，用lingo软件来求解最优设计加工参数（平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等），这里以合力的方向（斜向上）与最长木条（桌腿）的夹角方向最小为目标函数，以木条所承受应力小于木条的许用应力、支撑面积大于桌面面积、木条的开槽长度小于木条本身长为约束条件。
4.3问题三分析
题目要求制作软件的意思就是客户给定折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，将这些信息输入程序就得到客户想要的桌子。我们在求解最优设计加工参数时，自行给定桌面边缘线形状（椭圆、相交圆等），桌脚边缘线形状，折叠桌高度，应用第二问的非线性规划模型，用MATLAB软件绘制折叠桌截面图，得到自己设计的创意平板折叠桌。
问题三流程图：
已知f(x)、g(x)、h、w
d、N、?x ??n
????
????
五、模型建立和解决
5.1 问题一的模型建立和解决 5.1.1 模型的准备 (1)符号说明
4
为求出各木条角度关系，现引入下列符号： ??n：木板从外起第n个木条的长度(cm) ??n：第n个木条到木板边沿的距离
cn：第n个木条与桌面铰接处到桌面轴线距离
?cn：第n个木条与第n-1个木条桌面铰接处到桌面轴线距离差 ??n：第n个木条与桌面的夹角
（2）木条数的确定
根据题目意思，长方形平板尺寸，宽50 cm，每根木条宽2.5 cm，知道木条数越多，桌子越不易松动，即稳固性更好，最大根数为2.5=20根，考虑木条间的间隙和刀片的厚度，定为19根，此时，缝宽?x为：
2.5???==0.139cm
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（3）模型近似
从折叠桌实物可以看出，桌面并非为标准的圆面，圆面边上是锯齿形状，考虑到锯齿长度和圆半径的差异，我们假定圆为过木条中点的圆，在作示意简图和实际计算时，都以木条端点中点为木条与桌面接触点。
另外，折叠桌以材料最省为设计原则，在木板尺寸一定情况下，应该做到桌面尽可能大，这里我们取木板宽度为桌面直径。
5.1.2 模型的建立
为帮助理解，我们做折叠桌子两个最长脚（即在未折叠时的木板的同一侧最长木条）示意图，如图1所示：
A点 D点 ???? h-3 ?? 150
C点 B点E点 图1 折叠桌子两个最长脚截面图
(其中A点为最长木条一端到水平面的距离，由于桌实际高度包括桌面厚度3cm，
则A点到水平面距离要减去3cm)
BC= l12?(h?3)2
其中l1为57cm，因为木板厚度为3cm,有AD为两倍厚度，因为l1+AD+DE=L=120cm
则知l1为57cm。记l’=????
5
下面，我们作出平板俯视示意图，如下图2所示
第n根木条
an?1an 第n-1根木条
cn cn?1 图2 平板俯视示意图
对于第n个木条到木板边沿的距离an，应该包括（n-1）条缝宽，（n-1）根木条长度以及它自身一半的长度，则有：
ad
n= ???1 ???+ ???1 ??+2（n=2，3，…，10）
从几何关系上，应用勾股定理可以得出：
cw
n= (22)?(w2?an)2
则第n个木条与第n-1个木条顶点位置到圆面轴线径向距离差：
?cn=cn+1?cn
第n根木条长度????：
lL
n=2?cn
为了求解木条旋转角度αn，我们沿着钢筋的角度，作出折叠凳示意简图，如图3所示： ?c3 ?c2 ?c1 ??
????1 3 2
0.50.5h
图3 折叠桌示意简图
6
1）2）3）4）0.5（ 0.5（ 0.5（ 0.5（ 由上图知
0.5?
l’0.5?
??2=arctan’
l????1??1=arctan
??3=arctan
0.5?
l’????1????2
……
同理可得αn递推公式，即每根木条旋转角度：
n????=arctan
2l’? n1
(c
n+1?cn)
（由图3知，l’? n1(cn+1?cn)可能为负值，说明??n为钝角） 开槽长度
kcaolong）
n=0.5（h?h0?(0.5l1? n1
?1
sinαn
?cn)) 综合以上所分析，可建立如下几何模型：
n
αn=arctan
2l’? n1 cn+1?cn
kcaolongn=
0.5 h?h0 sinαn
?(0.5l 1? n1
?1
?c n))
ln=L
2
?cn
5.1.3 模型的解决 （1）动态变化过程
动态变化过程：由于用力大小未知，折叠桌与时间的关系不能确定，我们只能确定桌子从平板到折叠完成后这一过程中，任一角度的桌角位置，（程序见附录problem1_3.m）例如当最长木条转过60°、65°、70°，通过程序可以得到各木条相对桌面旋转角度，如表1所示：
7
5）6）7）（ 0.5（ 0.5（ 表1最长木条转过????°、????°、????°时各木条转动角度
第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根第9根夹角为60°夹角为65°夹角为70°60657071.510676.821982.027279.72884.982890.06385.97791.041495.897990.765395.6054100.227994.383599.0138103.128997.0267101.484105.733392.8285103.1591107.289399.8766104.1306108.1893
（2）长槽长度、木条长度、旋转角度
根据以上建立的模型，运用MATLAB软件，编程计算每根木条长度、旋转角度、长槽长度结果如下表2所示：
表2 木条长度、旋转角度、长槽长度
第1根第2根卡槽长度0第3根第4根第5根第6根第7根第8根第9根第10根4.50187.943410.7312.99414.79316.16417.12817.70217.89235.14111.135111.38木条长度52.08946.60943.15440.6538.76537.33836.28735.563旋转角度73.71985.83393.73799.39103.54106.59108.78110.25 从表1可以看出，第一根木条卡槽长度为0cm,符合实际。
下面我们绘制木条长度（如图4所示），开槽长度（如图5所示）：
60605050木条长度（单位：cm）开槽长度（单位：cm）404030302020101000246810序号121416182000246810序号1214161820
图4 木条长度图 图5 开槽长度柱形图
（3）桌脚边缘线的描述
为形象描述桌脚边缘线，可以用MATLAB绘图，因此，首先建立三维坐标系，我们以一个桌角为坐标原点，两桌角（平板状态时为异侧木条）连线为x轴，另两桌角（平板状态时为同侧木条）连线为y轴，竖直方向为z轴，如图6所示
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2014年数学建模国家一等奖优秀论文
