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2014年数学建模国家一等奖优秀论文

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4.2问题二分析

题目要求从折叠桌的稳固性好、加工方便、用材最少三个角度,确定设计加工参数。我们可以从应力、支撑面积考虑稳固性,从开槽长度考虑加工方便,从木板长度考虑用材最少。而它们之间又是相互制约,我们需要确定最优设计加工参数,可以建立非线性规划模型,用lingo软件来求解最优设计加工参数(平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等),这里以合力的方向(斜向上)与最长木条(桌腿)的夹角方向最小为目标函数,以木条所承受应力小于木条的许用应力、支撑面积大于桌面面积、木条的开槽长度小于木条本身长为约束条件。

4.3问题三分析

题目要求制作软件的意思就是客户给定折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状,将这些信息输入程序就得到客户想要的桌子。我们在求解最优设计加工参数时,自行给定桌面边缘线形状(椭圆、相交圆等),桌脚边缘线形状,折叠桌高度,应用第二问的非线性规划模型,用MATLAB软件绘制折叠桌截面图,得到自己设计的创意平板折叠桌。

问题三流程图:

已知f(x)、g(x)、h、w

d、N、?x ??n

????

????

五、模型建立和解决

5.1 问题一的模型建立和解决 5.1.1 模型的准备 (1)符号说明

4

为求出各木条角度关系,现引入下列符号: ??n:木板从外起第n个木条的长度(cm) ??n:第n个木条到木板边沿的距离

cn:第n个木条与桌面铰接处到桌面轴线距离

?cn:第n个木条与第n-1个木条桌面铰接处到桌面轴线距离差 ??n:第n个木条与桌面的夹角

(2)木条数的确定

根据题目意思,长方形平板尺寸,宽50 cm,每根木条宽2.5 cm,知道木条数越多,桌子越不易松动,即稳固性更好,最大根数为2.5=20根,考虑木条间的间隙和刀片的厚度,定为19根,此时,缝宽?x为:

2.5???==0.139cm

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(3)模型近似

从折叠桌实物可以看出,桌面并非为标准的圆面,圆面边上是锯齿形状,考虑到锯齿长度和圆半径的差异,我们假定圆为过木条中点的圆,在作示意简图和实际计算时,都以木条端点中点为木条与桌面接触点。

另外,折叠桌以材料最省为设计原则,在木板尺寸一定情况下,应该做到桌面尽可能大,这里我们取木板宽度为桌面直径。

5.1.2 模型的建立

为帮助理解,我们做折叠桌子两个最长脚(即在未折叠时的木板的同一侧最长木条)示意图,如图1所示:

A点 D点 ???? h-3 ?? 150

C点 B点E点 图1 折叠桌子两个最长脚截面图

(其中A点为最长木条一端到水平面的距离,由于桌实际高度包括桌面厚度3cm,

则A点到水平面距离要减去3cm)

BC= l12?(h?3)2

其中l1为57cm,因为木板厚度为3cm,有AD为两倍厚度,因为l1+AD+DE=L=120cm

则知l1为57cm。记l’=????

5

下面,我们作出平板俯视示意图,如下图2所示

第n根木条

an?1an 第n-1根木条

cn cn?1 图2 平板俯视示意图

对于第n个木条到木板边沿的距离an,应该包括(n-1)条缝宽,(n-1)根木条长度以及它自身一半的长度,则有:

ad

n= ???1 ???+ ???1 ??+2(n=2,3,…,10)

从几何关系上,应用勾股定理可以得出:

cw

n= (22)?(w2?an)2

则第n个木条与第n-1个木条顶点位置到圆面轴线径向距离差:

?cn=cn+1?cn

第n根木条长度????:

lL

n=2?cn

为了求解木条旋转角度αn,我们沿着钢筋的角度,作出折叠凳示意简图,如图3所示: ?c3 ?c2 ?c1 ??

????1 3 2

0.50.5h

图3 折叠桌示意简图

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1)2)3)4)0.5( 0.5( 0.5( 0.5( 由上图知

0.5?

l’0.5?

??2=arctan’

l????1??1=arctan

??3=arctan

0.5?

l’????1????2

……

同理可得αn递推公式,即每根木条旋转角度:

n????=arctan

2l’? n1

(c

n+1?cn)

(由图3知,l’? n1(cn+1?cn)可能为负值,说明??n为钝角) 开槽长度

kcaolong)

n=0.5(h?h0?(0.5l1? n1

?1

sinαn

?cn)) 综合以上所分析,可建立如下几何模型:

n

αn=arctan

2l’? n1 cn+1?cn

kcaolongn=

0.5 h?h0 sinαn

?(0.5l 1? n1

?1

?c n))

ln=L

2

?cn

5.1.3 模型的解决 (1)动态变化过程

动态变化过程:由于用力大小未知,折叠桌与时间的关系不能确定,我们只能确定桌子从平板到折叠完成后这一过程中,任一角度的桌角位置,(程序见附录problem1_3.m)例如当最长木条转过60°、65°、70°,通过程序可以得到各木条相对桌面旋转角度,如表1所示:

7

5)6)7)( 0.5( 0.5( 表1最长木条转过????°、????°、????°时各木条转动角度

第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根第9根夹角为60°夹角为65°夹角为70°60657071.510676.821982.027279.72884.982890.06385.97791.041495.897990.765395.6054100.227994.383599.0138103.128997.0267101.484105.733392.8285103.1591107.289399.8766104.1306108.1893

(2)长槽长度、木条长度、旋转角度

根据以上建立的模型,运用MATLAB软件,编程计算每根木条长度、旋转角度、长槽长度结果如下表2所示:

表2 木条长度、旋转角度、长槽长度

第1根第2根卡槽长度0第3根第4根第5根第6根第7根第8根第9根第10根4.50187.943410.7312.99414.79316.16417.12817.70217.89235.14111.135111.38木条长度52.08946.60943.15440.6538.76537.33836.28735.563旋转角度73.71985.83393.73799.39103.54106.59108.78110.25 从表1可以看出,第一根木条卡槽长度为0cm,符合实际。

下面我们绘制木条长度(如图4所示),开槽长度(如图5所示):

60605050木条长度(单位:cm)开槽长度(单位:cm)404030302020101000246810序号121416182000246810序号1214161820

图4 木条长度图 图5 开槽长度柱形图

(3)桌脚边缘线的描述

为形象描述桌脚边缘线,可以用MATLAB绘图,因此,首先建立三维坐标系,我们以一个桌角为坐标原点,两桌角(平板状态时为异侧木条)连线为x轴,另两桌角(平板状态时为同侧木条)连线为y轴,竖直方向为z轴,如图6所示

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2014年数学建模国家一等奖优秀论文

4.2问题二分析题目要求从折叠桌的稳固性好、加工方便、用材最少三个角度,确定设计加工参数。我们可以从应力、支撑面积考虑稳固性,从开槽长度考虑加工方便,从木板长度考虑用材最少。而它们之间又是相互制约,我们需要确定最优设计加工参数,可以建立非线性规划模型,用lingo软件来求解最优设计加工参数(平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等),这里以合力的方向(斜向上)与最长木条(桌腿)的夹角方
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