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5.2 矩形、菱形与正方形
[过关演练] (30分钟 70分)
1.(2024·山东滨州)下列命题,其中是真命题的为 (D) A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.一组邻边相等的矩形是正方形
【解析】一组对边平行,另一组对边相等的四边形也可以是等腰梯形,故A错误;对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故B错误;对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形,故C错误;一组邻边相等的矩形是正方形,故D正确.
2.(2024·湖北宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于 (B)
A.1 B. C. D.
【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴直线AC是正方形ABCD的对称轴,∵EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.∴根据对称性可知,四边形EFHG的面积与四边形EFJI的
面积相等,∴S阴影=S正方形ABCD=.
3.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形OCED的周长为 (B)
A.4
B.8
C.10
D.12
【解析】在矩形ABCD中,OC=OD=AC=2,又CE∥BD,DE∥AC,所以四边形OCED是菱形,菱形OCED的周长为4×2=8.
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4.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论:①AC⊥BD;②OA=OB;③∠ADB=∠CDB;④△ABC是等边三角形.其中一定成立的是 (D) A.①② B.③④ C.②③ D.①③
【解析】∵菱形的对角线互相垂直,∴AC⊥BD,故①正确;∵菱形的对角线互相平分但不一定相等,∴OA与OB不一定相等,故②错误;∵菱形的每条对角线平分一组对角,∴∠ADB=∠CDB,故③正确;在菱形ABCD中,AB=BC,只有当∠ABC=60°时,△ABC是等边三角形才成立,故④错误.
5.如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:①FB⊥OC,OM=CM;②△EOB≌△CMB;③四边形EBFD是菱形;④MB∶OE=3∶2.其中正确结论的个数是 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】连接BD,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AC,BD互相平分,∵O为AC的中点,∴BD也过O点,∴OB=OC,∵∠COB=60°,OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴OB=BC=OC,∠OBC=60°,
在△OBF与△CBF中,∴△OBF≌△CBF(SSS),∴△OBF与△CBF关于直线BF对称,
∴FB⊥OC,OM=CM,故①正确;∵∠OBC=60°,∴∠ABO=30°,∵△OBF≌△CBF,∴∠OBM=∠CBM=30°,∴∠ABO=∠OBF,∵AB∥CD,∴∠OCF=∠OAE,∵OA=OC,易证△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴OB⊥EF,∴四边形EBFD是菱形,故③正确;∵△EOB≌△FOB≌△FCB,∴△EOB≌△CMB错误,
故②错误;∵∠OMB=∠BOF=90°,∠OBF=30°,∴MB=,OF=,∵OE=OF,∴MB∶OE=3∶2,故
④正确.
6.已知矩形的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD= 2 .
【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AC=2AO.∵AO=1,∴AC=2×1=2,∴BD=2.
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7.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.请你添加一个条件 答案不唯一,如∠EDB=90°或AB=BE等 ,使四边形DBCE是矩形.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵DE=AD,∴DE=BC,∴四边形DBCE是平行四边形,由矩形的判定条件可添加∠EDB=90°或BE=CD或AB=BE等,可使四边形DBCE是矩形.
8.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED= 45° .
【解析】由题意得AB=AE,∠BAE=90°+60°=150°,∴∠AEB=∠ABE=15°,∵∠AED=60°,∴∠BED=60°-15°=45°.
9.(2024·浙江金华)如图,小靓用七巧板拼成一幅装饰图,放入长方形ABCD内,装饰图中的
三角形顶点E,F分别在边AB,BC上,三角形①的边GD在边AD上,则的值是 .
【解析】设七巧板的边长为x,则AB=x+x,BC=x+x+x=2x,.
10.(10分)(2024·呼和浩特)如图,已知A,F,C,D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时,AF的长度.
解:(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D,
∵AF=CD,∴AF+FC=CD+FC,即AC=DF, ∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF.
(2)AF=.
提示:连接BE交AD于点O.
在Rt△EFD中,∵∠DEF=90°,EF=3,DE=4,
∴DF==5,
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∵四边形EFBC是菱形,
∴BE⊥CF,∴EO=,
∴OF=OC=,∴CF=,
∴AF=CD=DF-FC=5-.
11.(10分)如图,已知四边形ABCD为矩形,AD=20 cm,AB=10 cm.M点从D到A,P点从B到C,两点的速度都为2 cm/s;N点从A到B,Q点从C到D,两点的速度都为1 cm/s.若四个点同时出发.
(1)判断四边形MNPQ的形状;
(2)四边形MNPQ能为菱形吗?若能,请求出此时运动的时间;若不能,说明理由.
解:(1)四边形MNPQ是平行四边形.理由如下:
在矩形ABCD中,BC=AD=20 cm,CD=AB=10 cm,且∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 设运动时间为t秒,则AN=CQ=t cm,BP=DM=2t cm. ∴BN=DQ=(10-t)cm,CP=AM=(20-2t)cm. 由勾股定理,得NP=,MQ=,
∴NP=MQ.
同理可得MN=PQ.
∴四边形MNPQ是平行四边形. (2)能.理由如下:
∵当四边形MNPQ为菱形时,有NP=QP, ∴∴,
,
解得t=5.
即四边形MNPQ为菱形时,运动时间是5 s.
12.(10分)如图,正方形ABCD中,点O为两条对角线的交点. (1)如图1,点M,N分别在AD,CD边上,∠MON=90°,求证:OM=ON;
(2)如图2,若AE交CD于点E,DF⊥AE于点F,在AE上截取AG=DF,连接OF,OG,那么△OFG是哪种特殊三角形,证明你的结论;
(3)如图3,若AE交BC于点E,DF⊥AE于点F,连接OF,求∠DFO的度数.
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解:(1)连接OA,OD,则OA=OD, ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOD=90°,∠OAM=∠ODN=45°,
∵∠MON=90°,∴∠AOD-∠MOD=∠MON-∠MOD, ∴∠AOM=∠DON,
∴△AOM≌△DON(ASA), ∴OM=ON.
(2)△OFG为等腰直角三角形. 证明:连接OA,OD,则OA=OD, ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOD=90°,∠OAD=∠ODC=45°, ∵DF⊥AE,
∴∠DAE+∠ADF=∠ADF+∠FDE=90°, ∴∠DAE=∠FDE,∴∠OAG=∠ODF. ∵AG=DF,∴△OAG≌△ODF(SAS), ∴OG=OF,∠AOG=∠DOF,
∴∠GOF=∠GOD+∠DOF=∠GOD+∠AOG=90°, ∴△OFG为等腰直角三角形.
(3)如图,在AE上截取AG=DF,连接OA,OD,OG,其中OA与DF交于点H,则AO=DO, ∵∠AFD=∠AOD=90°,∠AHF=∠DHO, ∴∠GAO=∠FDO,
∴△OAG≌△ODF(SAS), ∴OG=OF,∠AOG=∠DOF,
∴∠GOF=∠GOA-∠FOA=∠DOF-∠FOA=∠AOD=90°, ∴∠GFO=45°, ∵DF⊥AE, ∴∠DFO=45°.
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中考数学一轮复习第二讲空间与图形第五章5.2矩形菱形与正方形测试093
