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2024年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)
第I卷（选择题)
一、单选题
1．已知集合M?x?4?x?2，N?{xx?x?6?0?，则M?N=
2??A．{x?4?x?3? B．{x?4?x??2? C．{x?2?x?2? D．{x2?x?3?
2．设复数z满足z?i=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
222222A．(x+1)?y?1 B．(x?1)?y?1 C．x?(y?1)?1 D．x?(y+1)?1 0.20.33．已知a?log20.2,b?2,c?0.2，则
22A．a?b?c
B．a?c?b C．c?a?b
D．b?c?a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5?15?1（≈0.618，称22为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
5?1．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高2可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm
5．函数f(x)=
sinx?x在[—π，π]的图像大致为
cosx?x2
B．
A．
C． D．
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6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A．
5 16B．
11 32C．
21 32D．
11 167．已知非零向量a，b满足πA．
6a=2b，且（a–b）?b，则a与b的夹角为
2πC．
3πB．
35πD．
618．如图是求2?112?2的程序框图，图中空白框中应填入
A．A=
1 2?AB．A=2?1 AC．A=
1
1?2AD．A=1?1 2A9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4?0，a5?5，则 A．an?2n?5
an?3n?10 B． 2C．Sn?2n?8n D．Sn?12n?2n 2│AF││F2B│10．已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若，2?2│AB│?│BF│1，则C的方程为
x2A．?y2?1
2x2y2??1 B．
32x2y2??1 C．43x2y2?1 D．?5411．关于函数f(x)?sin|x|?|sin x|有下述四个结论：
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①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（
?,?）单调递增 2③f(x)在[??,?]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是
PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．86?
B．46?
C．26?
D．6?
第II卷（非选择题)
13．曲线y?3(x?x)e在点(0,0)处的切线方程为___________．
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1?，a4?a6，则S5=____________．
22x1315．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
x2y216．已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于
abruuuruuuruuuruuuA，B两点．若F1A?AB，F1B?F2B?0，则C的离心率为____________．
17．VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB?sinC)?sinA?sinBsinC．
22（1）求A；
（2）若2a?b?2c，求sinC．
18．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，
A1D的中点．
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（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 19．已知抛物线
C：y2=3x3的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
2（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
uuuruuur（2）若AP?3PB，求|AB|．
20．已知函数f(x)?sinx?ln(1?x)，f?(x)为f(x)的导数．证明：
（1）f?(x)在区间(?1,?2)存在唯一极大值点；
（2）f(x)有且仅有2个零点．
21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为
X．
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,L,7)，其中a?P(X??1)，
b?P(X?0)，c?P(X?1)．假设??0.5，??0.8．
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(i)证明：{pi?1?pi}(i?0,1,2,L,7)为等比数列； (ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
?1?t2x?，??1?t2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴
?y?4t?1?t2?为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?cos??3?sin??11?0． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 23．[选修4-5：不等式选讲]
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）
111???a2?b2?c2； abc333(a?b)?(b?c)?(c?a)?24 （2）
参考答案
1．C 【解析】 【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】
由题意得，M?x?4?x?2,N?x?2?x?3，则
????M?N??x?2?x?2?．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2．C
2024年高考全国1卷理科数学试题和答案
