章节题目 第三节 全微分及其应用 全微分的概念、计算、充要条件及应用 内容提要 重点分析 全微分的概念及充要条件 函数可微、偏导数存在、偏导数连续、连续之间的关系 函数可微的判定 难点分析 习题布置 P28 1（单）、4 备注 教 学 内 容 一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x??x,y)?f(x,y)?fx(x,y)?x f(x,y??y)?f(x,y)?fy(x,y)?y 全增量的概念：如果函数z?f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，并设P?(x??x,y??y)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差记f(x??x,y??y)?f(x,y)为函数在点P对应于自变量增量?x,?y的全增量，为?z，即 ?z=f(x??x,y??y)?f(x,y) 全微分的定义：如果函数z?f(x,y)在点(x,y)的全增量?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)可以表示为?z?A?x?B?y?o(?)，其中A,B不依赖于?x,?y而仅与x,y有关，??(?x)2?(?y)2，则称函数z?f(x,y)在点(x,y)可微分，A?x?B?y称为函数z?f(x,y)在点(x,y)的全微分，记为dz，即 dz=A?x?B?y. 函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分. 如果函数z?f(x,y)在点(x,y)可微分, 则函数在该点连续. 事实上 ?z?A?x?B?y?o(?), lim?z?0, ??0?x?0?y?0limf(x??x,y??y) ?lim[f(x,y)??z] ?f(x,y) ??0故函数z?f(x,y)在点(x,y)处连续. 二、可微的条件 定理1（必要条件） 如果函数z?f(x,y)在点(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数?z?z、必存在，且函数z?f(x,y)在点(x,y)的全微分为 ?x?y dz??z?z?x??y． ?x?y证 如果函数z?f(x,y)在点P(x,y)可微分, P?(x??x,y??y)?P的某个邻域?z?A?x?B?y?o(?)总成立, 当?y?0时，上式仍成立，此时??|?x|, ?x?0f(x??x,y)?f(x,y) ?A??x?o(|?x|), lim??z, ?xf(x??x,y)?f(x,y)?A ?x同理可得 B??z. ?y一元函数在某点的导数存在, 微分存在．微分存在, 一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在,不能保证全微分存在． ?xy?22例如, f(x,y)??x?y??0x2?y2?0. x2?y2?0在点(0,0)处有 fx(0,0)?fy(0,0)?0 ?z?[fx(0,0)??x?fy(0,0)??y] ??x??y(?x)?(?y)22, 如果考虑点P?(?x,?y)沿着直线y?x趋近于(0,0)， ?x??y则 (?x)2?(?y)2? ?1?x??x?, 2(?x)2?(?x)2说明它不能随着??0而趋于0, 当??0时， ?z?[fx(0,0)??x?fy(0,0)??y]?o(?), 函数在点(0,0)处不可微. 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数z?f(x,y)的偏导数?z?z、在点(x,y)连续，?x?y则该函数在点(x,y)可微分． 证 ?z?f(x??x,y??y)?f(x,y) ?[f(x??x,y??y)?f(x,y??y)] ?[f(x,y??y)?f(x,y)], 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理 f(x??x,y??y)?f(x,y??y) ?fx(x??1?x,y??y)?x (0??1?1) ?fx(x,y)?x??1?x（依偏导数的连续性） 其中?1为?x,?y的函数, 且当?x?0,?y?0时，?1?0. 同理 f(x,y??y)?f(x,y) ?fy(x,y)?y??2?y,当?x?0,?y?0时，?1?0, ?z ?fx(x,y)?x??1?x ?fy(x,y)?y??2?y ??1?x??2?y??0??0, ??1??2 ???故函数z?f(x,y)在点(x,y)处可微. 习惯上，记全微分为 dz??z?zdx?dy. ?x?y 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 du??u?u?udx?dy?dz. ?x?y?z叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 例1 计算函数z?e在点(2,1)处的全微分. 解 xy?z?z?yexy, ?xexy, ?x?y?z?z?2e2, ?e2, ?y(2,1)?x(2,1)所求全微分 dz?edx?2edy. 例2 求函数z?ycos(x?2y)，当x?分. 解 22?4，y??，dx??，dy??时的全微4?z??ysin(x?2y), ?x?z?cos(x?2y)?2ysin(x?2y), ?ydz(?,?)?4?z?z2dx?dy ??(4?7?). ??x(,?)?y(?,?)844例3 计算函数u?x?siny?eyz的全微分. 2解 ?u?u?u1y?1, ?yeyz, ?cos?zeyz, ?x?z?y2212y?zeyz)dy?yeyzdz. 2 所求全微分 du?dx?(cos1?xysin,(x,y)?(0,0)?22例4 试证函数f(x,y)??在点(0,0)连续且偏x?y?0,(x,y)?(0,0)?导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f在点(0,0)可微. 思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分(x,y)?(0,0)，(x,y)?(0,0)讨论. 证 令x??cos?, y??sin?, 则 (x,y)?(0,0)limxysin1x?y22 ?lim?sin?cos??sin??021? ?0 ?f(0,0), 故函数在点(0,0)连续, fx(0,0)? lim?x?0f(?x,0)?f(0,0)0?0?0, ?lim?x?0?x?x同理 fy(0,0)?0. 当(x,y)?(0,0)时， fx(x,y)? ysin1x?y22?x2y(x?y)223cos1x?y22, 当点P(x,y)沿直线y?x趋于(0,0)时, (x,x)?(0,0)lim?1x31??fx(x,y) ?lim?xsin?cos,不存在. 3?x?0?2|x|22|x|2|x|??所以fx(x,y)在(0,0)不连续.
8-3全微分及其应用
