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二次根式 【知识回顾】
八年级数学（下册）知识点总结
1. 二次根式：式子 a （ a ≥0）叫做二次根式。 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； 母中不含根式。
3. 同类二次根式：
⑵被开方数中不含分母； ⑶分
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质： （1）（ a ）2= a （ a ≥0）；
5. 二次根式的运算：
a ＞0） a （
（2） a 2 ? a ??0 （
a =0）；
a ＜0 ? a （
（1） 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可
以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2） 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根
式．
（3） 二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的
积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
b ? b （b≥0，a>0）．
a a
（4） 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】
1、概念与性质
2 12例 1 下列各式 1） , 2) ?5, 3) ? x ? 2, 4) 4, 5) (? ) , 6) 1? a , 7) a2 ? 2a?1 ，
5 3 1 其中是二次根式的是 （填序号）．
； ab = a · b （a≥0，b≥0）
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2
例 2、求下列二次根式中字母的取值范围
1 x ? 5 ??(x - 2)2 3 ? x （1） ；（2） 例 3、 在根式 1)
x a2 ? b2 ; 2) ;3) x2 ? xy ; 4) 27abc ，最简二次根式是（ ）
5 B．3) 4)
C．1) 3)
D．1) 4)
x y x y
? ? 2。。。 ? ? 2 ? y x y x
2 A．1) 2)
1 y ? 1? 8x ? 8x ?1 ? ,。。。。 2 例 4、已知：
例 5、 （2009 龙岩）已知数a，b，若 (a ? b)=b－a，则 ( )
A. a>b
B. a
C. a≥b
D. a≤b
2、二次根式的化简与计算 例 1. 将A. 根号外的 a 移到根号内，得 ( ；
)
D.
B. － ； C. － ；
1 － a－b化成最简二次根式 例 2. 把（a－b）
例 3、计算：
例 4、先化简，再求值：
1 1 b ，其中 a= 5 ?1 ，b= 5 ?1 ．
? ?
a ? b b a(a ? b) 2 2
例 5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ： a2 ? b2 ??(a ? b)2 ?
4、比较数值
（）
、根式变形法
当a ? 0, b ? 0 时，①如果a ? b ，则 a ? b ；②如果a ? b ，则 a ? b 。 例 1、比较3 5 与5 3 的大小。
（）
、平方法
当a ? 0, b ? 0 时，①如果a2 ? b2 ，则a ? b ；②如果a2 ? b2 ，则a ? b 。
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3
例 2、比较3 2 与2 3 的大小。
（）
、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例 3、比较 2 与 1 的大小。
3 ?1 2 ?1
（）
、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。例 4、比较 15 ? 14 与 14 ? 13 的大小。
（）
、倒数法
例 5、比较 7 ? 6 与 6 ? 5 的大小。
（）
、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例 6、比较 7 ? 3 与 87 ? 3 的大小。
（）
、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ① a ? b ? 0 ? a ? b ；② a ? b ? 0 ? a ? b 例 7、比较 2 ?1 3 ?1 与 2 3
的大小。 （）
、求商比较法
它运用如下性质：当 a>0，b>0 时，则： ① a
? 1 ? a ? b ； ② a
? 1 ? a ? b
b
b
例 8、比较5 ? 3 与2 ? 3 的大小。 5、规律性问题
例 1. 观察下列各式及其验证过程：
， 验证：
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；
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