∴四边形ABOE是矩形， ∴∠OBA＝90°，
∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°， ∴OD＝BD?sin60°＝20
（cm），
+5≈39.6（cm）．
∴DF＝OD+OE＝OD+AB＝20
（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，
∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°， ∴∠BCH＝30°， ∵∠BCD＝165°， °∠DCP＝45°， ∴CH＝BCsin60°＝10
（cm），DP＝CDsin45°＝10
+10﹣10
（cm），
∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝（10∴下降高度：DE﹣DF＝20
+5﹣10
+5）（cm）， ﹣5＝10
﹣10
＝3.2（cm）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．（10分）在屏幕上有如下内容：
如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．
（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答． （2）以下是小明、小聪的对话：
小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长
小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO
全等．
参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD＝90°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝2，然后计算OA+OD即可；
（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠A＝∠DCB＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求AC的长． 【解答】解：（1）连接OC，如图， ∵CD为切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∵∠D＝30°， ∴OD＝2OC＝2， ∴AD＝AO+OD＝1+2＝3；
（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长， 解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠DCB＝90°， ∴∠ACO＝∠DCB， ∵∠ACO＝∠A， ∴∠A＝∠DCB＝30°， 在Rt△ACB中，BC＝AB＝1， ∴AC＝
BC＝
．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
22．（12分）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．
（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．
（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．
【分析】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于F，得出S1＝AB?BC＝6×5＝30；
②若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出△CHF为等腰三角形，得出AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，求出BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝1，AG＝AB﹣BG＝5，得出S2＝AE?AG＝6×5＝30；
（2）在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出△CGF为等腰三角形，得出MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，设AM＝x，则BM＝6﹣x，FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，得出S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x+11x，由二次函数的性质即可得出结果． 【解答】解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示： 过点C作CF⊥AE于F，S1＝AB?BC＝6×5＝30；
2
②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：
过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H， 则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形， ∵∠C＝135°， ∴∠FCH＝45°，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH， ∴BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝6﹣5＝1， ∴AG＝AB﹣BG＝6﹣1＝5， ∴S2＝AE?AG＝6×5＝30； （2）能；理由如下：
在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G， 则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形， ∵∠C＝135°， ∴∠FCG＝45°，
∴△CGF为等腰直角三角形， ∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG， 设AM＝x，则BM＝6﹣x，
∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，
∴S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x+11x＝﹣（x﹣5.5）+30.25， ∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25．
2
2
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键．
23．（12分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．
（1）在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．
②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM＝AD﹣DM，计算即可，
2
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2019年浙江省绍兴市中考数学试卷（解析版）
