人教版高中数学选修 2-1 《椭圆及其标准方程 》教案
一、 课型
新授课
二、教学内容
1、椭圆的定义； 2、椭圆的两类标准方程；
3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。
三、教学目标
1、知识与技能： 理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标 准方程的
两种形式及其推导过程；掌握 a、b、c 三个量的几何意义及它们之 间的关系。 能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的 标准方程；
2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力； 通过椭圆
的标准方程的推导， 使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法， 并渗 透数形结合和等价转化的思想方法， 提高运用坐标法解决几何问题的能力。 让 学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；
3、情感态度与价值观： 通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程， 激发学生学 习数学
的积极性， 培养学生的学习兴趣和创新意识。 培养学生的探索能力和进 取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知 识的积极态度。 通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感， 同时培养团队协作 的能力。
四、教学重点、难点
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程； 难点：椭圆标准方程的推导过程。
五、教学方法
教师引导为主、学生自主探究为辅。
六、教学媒体
幻灯片、黑板。
七、教学过程
（一）创设情境，导入新课
用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型， 它运行的轨迹又是什么图形呢？ 可以看出，它的运行轨迹是椭圆。 此时老师指出： 在实际生活中， 椭圆随处可见， 很多学科也涉及到椭圆的应用， 所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。 这就是 我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。 （二）问题探究
老师提问：我们从直观上认识了椭圆， 那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满 足什么样的条件呢？它的定义又是如何？
1、椭圆的形成
下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具： 一段固定长的细绳、 两颗钉 子、一块长 3 分米，宽 3 分米的硬纸板。然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固 定在图板上， 使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度 （请同学们考虑一下， 为 什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？） ，我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖 在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？
如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于 细绳的长度， 同样用笔尖将细绳拉紧， 让笔尖在图板上慢慢移动。 我们发现笔尖 只能在两个钉子之间来回运动，这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。
将两个钉子之间的距离再增大，此时就可以发现，细绳的长度比两个钉子 之间的距离小，笔尖没有轨迹。
再用课件给学生进行演示：
通过演示可以发现， 绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。
请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示， 思考： 在作图过程中， 有哪些 物体的位置没变化？有哪些量没有变化？ 如何来归纳椭圆的定义呢？
2、椭圆的定义
平面内到两定点 F1、F2的距离之和等于常数 （大于|F 1F2|） 的点的轨迹叫做
椭圆 。这两个定点叫做 椭圆的焦点 ，两焦点的距离叫做 椭圆的焦距 。通常常数
记作 2a，焦距记作 2c，则有 2a> 2c。
注意：这里的常数必须大于 |F 1F2| 。如果常数 =|F1F2| ，则是线段 F1F2；若常 数<
|F 1F2| ，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，必须得加上限制条件： “此常数大 于|F
1
F2| ”。
3、椭圆标准方程的推导 首先复习求曲线方程的一般步骤： ①建系设点；②寻找动点
满足的几何条件； ③把几何条件坐标化；④化简得方程。
（1）建系设点： 设椭圆的焦距为 2c（c>0），M 与
F1、F2 的距离之和为 2a，以两定点 F1、F2的直线 为 x 轴，
线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐 标系，M（x，
y）为椭圆上任意一点，则有 F1（-c ，0）， F2（ c， 0）。
（ 2）动点 M满足的几何条件： 由椭圆的定义不难得出动点 M满足的条件为： MF1 MF2 2a
（3 ）动点 M满足的代数方程：
∵ MF1
（x c） y
2
2
2
2
22
∴ （x c） y （x c） y 2a
（4）化简方程：
（a-c ） x +a y=a（a-c ）
由椭圆的定义可知， 2a>2c,即 a>c,所以 a-c >0。 令 a-c =b, 其中 b>0, 代入上式，得 bx+ay=axb, 22
2222y
两边同除以 ab,得 2 2 1（a>b>0） ,此即为椭圆的标准方程。 a b
它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上，焦点是 F1（ c,0） F2（c,0） ，中心在坐标原 点的椭圆方程。其中 a c b 。
如果使点 F1、F2在y 轴上，点 F1、F2的坐标分别为 F1（0，-c ）、F2 （0,c） ，a、
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
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