物理模型：动量和能量观点的综合应用-小模型集合

模型/题型：动量和能量观点的综合应用-模型集合

模型/题型：”滑块-弹簧”模型

一．模型特点

对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统在相互作用的过程中： (1)在能量方面，由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 (2)在动量方面，系统动量守恒。

(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统满足动量守恒，机械能守恒。 (4)弹簧处于原长时，弹性势能为零。 二．解题思路

(1)应用系统的动量守恒。 (2)应用系统的机械能守恒。

(3)应用临界条件：两滑块同速时，弹簧的弹性势能最大。

模型/题型：”滑块-平板”模型

一．模型特点

1.当滑块和平板的速度相等时平板的速度最大，两者的相对位移也最大。

2.系统的动量守恒，但系统的机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统机械能的减少，当两者的速度相等时，系统机械能损失最大。 二．解题思路

(1)应用系统的动量守恒。

(2)在涉及滑块或平板的时间时，优先考虑用动量定理。 (3)在涉及滑块或平板的位移时，优先考虑用动能定理。 (4)在涉及滑块的相对位移时，优先考虑用系统的能量守恒。 (5)滑块恰好不滑动时，滑块与平板达到共同速度。

模型/题型：”3S问题”模型

一．模型特点及解题分析

如图，质量为m 的滑块以速度v0滑上放于光滑水平地面上 的质量为 Ｍ 的长木板上。 长木板上表面粗糙，动摩擦因数为 μ， 长木板足够长。 分析过程，满足以下关系 F ＝μmg

mv0 = (m+M)vt

1122

-fs1 = mvt- mv0 fs2 = Mv

212

2

2t

fs3 = f(s1-s2) = mv0- (m+M)vt = Q

2

2

1

2

1

2

模型/题型：弹簧类模型

一．模型特点及解题分析

对两个（或两个以上）物体与弹簧组成的系统，在能量方面， 由于发生弹性形变的弹簧会具有弹性势能，系统的总动能将发 生变化。 若系统除重力和系统内弹力以外的力不做功，系统机 械能守恒。 若还有其他外力做功，这些力做功之和等于系统机 械能改变量。 做功之和为正，系统总机械能增加，反之减少。 在 相互作用过程中，弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至 最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。 系统内 每个物体除受弹簧弹力外所受其他外力的合力为零，当弹簧为 自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度。

模型/题型：“圆弧轨道-小球”模型

一．模型特点及解题分析

1.最高点：m与M具有共同水平速度，且m不可能从此处离开轨道，系统水平方向动量守恒，系统机械能守恒。Mv0 = (M+m)v共 , mv0 = (M+m)v共 + mgh

2

2

1

2

1

2

2.最低点：m与M分离点，水平方向动量守恒，系统机械能守恒.

mv0 = mv1 + Mv2 , mv0 = mv1 + Mv2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

典型例题

1.[滑块-弹簧模型]两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图所示。已知B与C碰撞后二者会粘在一起运动。在以后的运动中： (1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？ (2)系统中弹性势能的最大值是多少？

解析 (1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，根据A、B、C三者组成的系统动量守恒，取向右为正方向，有(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vABC 代入数据解得vABC＝3 m/s

(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰撞后瞬间B、C的共同速度为vBC，则有

mBv＝(mB＋mC)vBC

代入数据解得vBC＝2 m/s

当A、B、C三者的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，设为Ep，在B、C碰撞后，A与B、C组成的系统通过弹簧112122

相互作用的过程中机械能守恒。根据机械能守恒定律得Ep＝(mB＋mC)vBC＋mAv－(mA＋mB＋mC)vABC＝12 J。

222答案 (1)3 m/s (2)12 J

2.[滑块-木板模型]如图所示，长木板ab的b端固定一挡板，木板连同挡板的质量为M＝4.0 kg，a、b间距离s＝2.0 m，木板位于光滑水平面上，在木板a端有一小物块，其质量m＝1.0 kg，小物块与木板间的动摩擦因数μ＝0.10，它们都处于静止状态，现令小物块以初速度v0＝4.0 m/s 沿木板向右滑动，直到和挡板相碰。碰撞后，小物块恰好回到a端而不脱离木板，求碰撞过程中损失的机械能。

2

(g取10 m/s)

解析 把a、b两物体看成一个系统，设物块和木板最后的共同速度为v，取向右为正方向，由动量守恒定律有 mv0＝(M＋m)v

设碰撞过程中损失的机械能为ΔE，由于物块在木板上滑动使系统损失的机械能为2μmgs(根据摩擦力与相对位移的乘积等于系统损失的机械能)，则由能量守恒定律可得 121

mv0－(M＋m)v2＝ΔE＋2μmgs 22

1212

可得ΔE＝mv0－(M＋m)v－2μmgs

22

＝v0－2μmgs＝2.4 J。

2（m＋M）答案 2.4 J

3.[圆弧轨道-滑块模型]在光滑水平面上静置有质量均为m的木板AB和滑块CD，木板AB上表面粗糙，滑块CD上表面是光滑的圆弧，其始端D点切线水平且在木板AB上表面内，它们紧靠在一起，

41

mM2

如图所示。一可视为质点的物块P，质量也为m，从木板AB的右端以初速度v0滑上木板AB，过B点v0

时速度为，又滑上滑块CD，最终恰好能滑到滑块CD圆弧的最高点C处，求：

2

(1)物块滑到B处时木板的速度vAB； (2)滑块CD圆弧的半径R。

解析 (1)物块由A点到B点，取向左为正，方向vB＝

2由动量守恒得mv0＝mvB＋2mvAB，则vAB＝

4

(2)物块由D点到C点，滑块CD与物块P组成的系统动量守恒，机械能守恒，则

v0

v0

v0v0

m·＋m·＝2mv共

2

4

1v021v021

m()＋m()＝×2mv2共＋mgR 22242

2

v0

解得R＝。

64g2v0

答案 (1) (2) 464gv0

4.[滑块-弹簧模型]如图3所示，小球A质量为m，系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到光滑水平面的距离为h。物块B和C的质量分别是5m和3m，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且B物块位于O点正下方。现拉动小球使细线水平伸直，小球由静止释放，运动到最低点时与物块B发生正碰(碰撞时间极短)，反弹后上升到最高点时到水平面的距离为。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求碰撞过

16程B物块受到的冲量大小及碰后轻弹簧获得的最大弹性势能。

解析 设小球运动到最低点与物块B碰撞前的速度大小为v1，取小球运动到最低点时的重力势能为零，根据机械12

能守恒定律有mgh＝mv1 解得v1＝2gh

2设碰撞后小球反弹的速度大小为v1′，同理有

hh12ghmg＝mv1′2 解得v1′＝

162

4

设碰撞后物块B的速度大小为v2，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有mv1＝－mv1′＋5mv2 解得v2＝5

由动量定理可得，碰撞过程B物块受到的冲量为 I＝5mv2＝m2gh

4

碰撞后当B物块与C物块速度相等时轻弹簧的弹性势能最大，据动量守恒定律有5mv2＝8mv3 111522

据机械能守恒定律得Epm＝×5mv2－×8mv3 解得Epm＝mgh。

22128答案

2gh 4

515m2gh mgh 4128