在Rt△BDF中，由勾股定理得BD2+DF2=BF2 ， 则22+（1+x）2=( 解得x1= 则EF=
)2 ，
,x2=-1（舍去）,
【考点】点与圆的位置关系，切线的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证明点D在⊙O上，则需要证明点D到圆心的距离OD要等于半径，由折叠易知OD=OC；（2）证明BE为的⊙O切线，由切线判定定理可得需要证明∠ABE=90°；易知∠ADB=90°，由公共角∠BAE=∠DAB，则需要△ABE~△ADB，由AB2=AC·AE和AC=AD可证明；（3）易知∠BDF=∠ADB=90°，则△BDF是一个直角三角形，由勾股定理可得BD2+DF2=BF2 ， 而BD=BC=2，DF=DE+EF，EF就是要求的，不妨先设EF=x，看能否求出DE或都BF，求不出的话可用x表示出来，再代入BD2+DF2=BF2解得即可。
26.【答案】（1）解：4；证明：∵∠EDF=60°，∠B=160°∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°， ∴∠BED=∠CDF， 又∵∠B=∠C， ∴
（2）解：解：存在。如图，作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别为M，G，N，
∵ 平分 且 平分 ，
∴DM=DG=DN，
又∵∠B=∠C=60°，∠BMD=∠CND=90°， ∴△BDM?△CDN，
∴BD=CD，
即点D是BC的中点， ∴
。
（3）1-cosα
【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°，∵AE=4，∴BE=2，则BE=BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE=60°，又∵∠EDF=60°，-∠EDF-∠B=60°∴∠CDF=180°，则∠CDF =∠C=60°， ∴△CDF是等边三角形，∴CF=CD=BC-BD=6-2=4。
（ 3 ）连结AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别为G，D，H，
则∠BGO=∠CHO=90°， ∵AB=AC，O是BC的中点 ∴∠B=∠C，OB=OC， ∴△OBG?△OCH，
∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°?α， -（∠BOG+∠COH）=2α， 则∠GOH=180°∵∠EOF=∠B=α， 则∠GOH=2∠EOF=2α，
由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=EG+FH（可通过半角旋转证明）， 则
=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，
设AB=m，则OB=mcosα，GB=mcos2α,
【分析】（1）①先求出BE的长度后发现BE=BD的，又∠B=60°，可知△BDE是等边三角
形，可得∠BDE=60°，另外∠EDF=60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC-BD；②证明
，这个模型可称为“一线三等角·相似模型”，根据“AA”判定相似；
（2）【思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM=DG=DN，从而通过证明△BDM?△CDN可
得
BD=CD
；
（
3
）
【
探
索
】
由
已
知
不
难
求
得
=2(m+mcos)，则需要用m和α的三角函数表示出
，
=AE+EF+AF；题中直接已知O是BC的中点，应用（2）题的方法和结论，
=AE+EF+AF=
作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，可得EG=ED，FH=DF，则 AG+AH=2AG，而AG=AB-OB，从而可求得。 27.【答案】（1）解：∵抛物线
解得
∴抛物线
，当x=
时，
经过点
、
两点，∴
（2）解：（I）∵点P的横坐标是 （
，
），
，则点P
∵直尺的宽度为4个单位长度， ∴点Q的横坐标为 ∴点Q（
，
+4= ），
，
），Q（
，
），可得
，则当x=
时，y=
,
设直线PQ的表达式为：y=kx+c，由P（
解得 ，则直线PQ的表达式为：y=-x+ ，
)，则E
如图②，过点D作直线DE垂直于x轴，交PQ于点E，设D(m， （m,-m+
）,
则S
△
PQD=S
△
PDE+S
△
QDE= =
= ）。
），即Q（n+4, ,
）
,
=
∵
即当m= 时，S△PQD=8最大，此时点D（ ），则Q（n+4， （II）设P P（n, ）,而直线PQ的表达式为：y= 设D（ ∴S△PQD= =2 = ≤8 ），则E（t， =2 当t=n+2时，S△PQD=8. ∴△PQD面积的最大值为8 【考点】二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积 【解析】【分析】（1）将两点 、 坐标代入 ，可得方程 组，解之即可；（ 2 ）（I）在遇到几何或代数求最大值，可联系到二次函数求最大值的应用，即将△PQD的面积用代数式的形式表示出来，因为它的面积随着点D的位置改变而改变，所以可设点D的坐标为(m， )，过过点D作直线DE垂直于x轴，交PQ 于点E，则需要用m表示出点E的坐标，而点E在线段PQ上，求出PQ的坐标及直线PQ的表达式即可解答； （II）可设P（n, ），则Q（n+4， ），作法与（I） 一样，表示出△PQD的面积，运用二次函数求最值。
2020中考数学试题含答案 (50)
