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解：dy??1dx 1?x21???y???arctan??x??1dy?1??????2?2?x2?1dx ?1??x?1????x?1所以，dy??
1dx 1?x2rrrrrrrrr4．设a?i?k,b?2i?3j?k,求a?b? 。 rrr解：3i?3j?3k
rrrijkrrrrr由a?b?10?1?3i?3j?3k.
23
15．将函数f(x)?x展开成x的幂级数是 。 22?x?x1??1?解：??n?(?1)n?xn,3n?0?2???1?x?1?
f(x)?n2111111???(?)
x(2?x)(x?1)32?x31?x31?1?x21x1?2??1nx,n2n?0?因为：
??2?x?2?
?1??(?1)nxn,而且：
1?xn?0??1?x?1?
1??1n?1??1?nn?所以，f(x)???nx??(?1)x????n?(?1)n?xn,3?n?02?n?0?3n?0?2 6．极限解：0
??1?x?1?
x2sinlimx?0sinx1x? 。
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1x?lim(xsin1x)?limxsin1?limx?0?1?0 limx?0x?0x?0sinxxsinxxx?0sinx
x2sin3x3?4x2?27．求lim3? 。
x??7x?5x2?33解：
7
x2?3x?2sinx8．lim2? 。
x??x?x?2cosx解：1
x2?3x?2sinx原式：lim2
x??x?x?2cosx原式分子sinx有界，分母cosx有界，其余项均随着x趋于无穷而趋于无穷。 这样，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。
9．设?ABC的顶点为A(3,0,2),B(5,3,1),C(0,?1,3)，求三角形的面积是 。
2解：6 3ruuur1uuu由向量的模的几何意义知?ABC的面积S?|AB?AC|.
2uuuruuur因为AB?{2,3,?1},AC?{?3,?1,1}
rrri j kuuuruuurrrr得AB?AC?2 3 ?1?2i?j?7k，所以
?3 ?1 2uuuruuur2|AB?AC|?22?12?72?54?36。于是S?6 3
.
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10．无穷级数?(?1)nn?0?12(n?n?1)的和是 。 n222 27先将级数分解：
解：
??121n1A??(?1)n(n?n?1)??(?1)nn(n?1)??(?)n. 222n?0n?0n?0n?第二个级数是几何级数，它的和已知
1n12(?)??. ?12n?01?(?)32求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察
??(?1)nxn?n?0?1(x?1) 1?xnn?2?S(x)??(?1)n(n?1)xn?0???12??nn????(?1)x??()??? 31?x(1?x)?n?0???(?1)nn?0?111124n(n?1)?S()?? 2n2224(1?1)32724222 ??27327因此原级数的和 A?
x2?ax?b11．已知lim2?2，则a?_____，b?_____。
x?2x?x?2解：a?2，b??8
由所给极限存在知, 4?2a?b?0, 得b??2a?4,
x2?ax?bx?a?2a?4又由lim2?lim??2, 知a?2,b??8。
x?2x?x?2x?2x?13
12．已知y??x?1??x?2?，求y??
?x?3??x?4? 。
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1解：2?x?1??x?2??1?1?1?1??
x?1x?2x?3x?4?x?3??x?4????
先两边取对数再两边求导
因为
所以
213．?(2cosx?cscx)dx? 。
解：2sinx?cotx?C 直接积分就可以得到：
22(2cosx?cscx)dx?2cosxdx?csc???xdx?2sinx?cotx?C
14．求平行于z轴，且过点M1?1,0,1?和M2?2,?1,1?的平面方程是 。 解：x?y?1?0
由于平面平行于z轴，因此可设这平面的方程为： Ax?By?D?0 因为平面过M1、M2两点，所以有
?A?D?0 ?2A?B?D?0?解得A??D，B??D，以此代入所设方程并约去D?D?0?，便得到所求的平面方程：x?y?1?0
15．无穷级数?解：收敛
.
(n?1)!的收敛发散性是 。 n?1nn?1?精品文档
un?1(n?2)!nn?1n(n?2)11?????1因为：n?221un(n?1)(n?1)!(n?1)(1?)nen所以：无穷级数? 16．limx?0解：
1 54tanx?sinx? 。 3tan3x(n??)
(n?1)!收敛 n?1nn?1?
17．计算广义积分???解：?
??1dx? 。 1?x2
18．设y?3x(x?cotx)cosx，则y'? 。
41?解：y??x3cosx?x3sinx?x3cotxcosx?x3csc2xcosx?x3cosx
33y??14211?33?x(x?cotx)cosx
??x??(x?cotx)cosx?x(x?cotx)?cosx?x(x?cotx)cos?x1??x?(x?cotx)cosx?x(1?cscx)cosx?x(x?cotx)sinx 3?333?23234211?4112?x3cosx?x3sinx?x3cotxcosx?x3cscxcosx?x3cosx33
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高等数学(专升本)
