rr27rrm?ncosm,n???所以， rrmn277故平面CPB与平面CDE所成锐二面角的余弦值为7. 7【点睛】
本题考查立体几何中面面垂直的证明，还考查了求空间中二面角的余弦值，属于较难题. 19．在平面直角坐标系xOy中，A，B为抛物线C:y?2px?p?0?上不同的两点，
2，2?且OD?AB于点D. 且OA?OB，点D?1（1）求p的值；
N?x2，y2?两点，0??t?0?的直线l交C于M?x1，y1?，（2）过x轴上一点 T?t，M，N在C的准线上的射影分别为P，Q，F为C的焦点，若S?PQF?2S?MNF，求MN中点
E的轨迹方程.
【答案】（1）
55252；（2）y?x?
242，2?且OD?AB于点D，可求得直线AB的方程，联立直线方【解析】（1）由点D?1程与抛物线方程由韦达定理可表示yA×yB，进而表示xA?xB，再由OA?OB，得
uuuruuurOA?OB?0构建方程，解得p值；
（2）分别表示S?PQF与S?MNF，由已知S?PQF?2S?MNF构建方程，解得t的值，设MN的中点E的坐标为?x，y?，当MN与x轴不垂直时，由KMN?KTE构建等式，整理得中点轨迹方程；当MN与x轴垂直时，T与E重合，综上可得答案. 【详解】
，2?，得直线AB的斜率k??（1）由OD?AB及D?1则AB的方程为y?2??11??， kOD21?x?1?，即x??2y?5， 2第 16 页 共 25 页
设A?xA,yA?，B?xB,yB?，
?y2?2px,联立?消去x得y2?4py?10p?0，??16p2?40p?0，
?x??2y?5,yA2yB2100p2???25， 由韦达定理，得yAyB??10p，于是xAxB?2p2p4p2由OA?OB，得OA?OB?0，即xAxB?yAyB?0，则25?10p?0， 解得p?uuuruuur5. 2?5?4??0?，设C的准线与x轴的交点为G， （2）由（1）得抛物线的焦点F?，则S?PQF?115115FGPQ??y1?y2，S?MNF?FTPQ?t?y1?y2，
224222555?，且t?0，得t?. 442由S?PQF?2S?MNF，得t?设MN的中点E的坐标为?x，y?， 则当MN与x轴不垂直时，由KMN?KTE，
y2?y1y?0y2?y1y5y5y??2?????255可得x2?x1yyy2?y1x?52yx?5， 21x?x??222255y2?525?5?x??x??； 24?2?当MN与x轴垂直时，T与E重合， 所以MN的中点的轨迹方程为y?2525x?. 24
【点睛】
本题考查由已知关系求抛物线的标准方程，还考查了在抛物线中线弦的问题下求中点的轨迹方程问题，属于难题.
20．某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自
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该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位：mm）在正常环境下服从
36?. 正态分布N?68，（1）一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于56mm的概率； （2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是2009年至2024年，该果园每年的投资金额x（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：
该果园为了预测2024年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型；
??2.50x?2.50； 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：y模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y?blnx?a的附近，对投资金额x做交换，令t?lnx，则y?b?t?a，且有
1010?ti?110i?22.00，?yi?230，
i?110?tyii?1i?569.00，?ti2?50.92.
i?1（I）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；
（II）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 ??2.50x?2.50 y??blnx?a y ????y?yiii?1102 102.28 36.19
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附：若随机变量X:N?，??2?，则P???2??X???2???0.9544，
P???3??X???3???0.9974；样本?ti,yi??i?1，2，???，n?的最小乘估计公式为
??b??ti?1ni?t??yi?y?2??ti?t?i?1n?； ，a??y?bt相关指数R?1?2????yi?yi?1nin2.
2??y?y?i?1参考数据：0.977220?0.6305，0.998720?0.9743，ln2?0.6931，ln5?1.6094.
??25lnx?32,（II）模型①的R2小于模型②，说明【答案】（1）0.3695；（2）（I）y回归模型②刻画的拟合效果更好，当x=20时，模型②的年利润增量的预测值为
?=42.89（万元）y，
【解析】（1）由已知满足正态分布，则可知?，?的值，由正态分布的对称性可知，可求得买一个苹果，其果径小于56mm的概率
1?1?P???2??????2???，由独立重复试验概率的运算方式，求??2得购买20个“糖心苹果”中有果径小于56mm的苹果概率； P?X?56??（2）（I）由最小二乘法求得模型②中y关于x的回归方程；
（II）分别计算两种模型的相关系数的平方，得模型②的相关系数的平方更大其拟合程度越好，再代x=20进行计算，求得预测值. 【详解】
（1）由已知，当个“糖心苹果”的果径X?N?，?则??68，??6. 由正态分布的对称性可知， P?X?56??111????1?P68?12?X?68?12?1?P??2??????2???????2??2??1?0.9544??0.02282??2?，
设一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，其中果径小于56mm的有?个，则
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??B?20,0.0228?，
故P???1??1?P???0??1??1?0.0228?20?1?0.977220?0.3695，
所以这名顾客所购买20个“糖心苹果”中有果径小于56mm的苹果概率为0.3695. （2）（I）由又由题，得
?ti?110i?22.00，?yi?230，可得t?2.20，y?23，
i?110?t?t??yi?y??i?1tiyi?10t?y569.00?10?2.20?23?i?1i?b????25， nn22250.92?10?2.20?2.20?i?1?ti?t??i?1ti?10t??23?25?2.20??32 则a??y?btnn??25lnx?32. 所以，模型②中y关于x的回归方程y（II）由表格中的数据，有102.28?36.19，即
102.28?i?1?yi?y?102?36.19?i?1?yi?y?102，
所以模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好， 当x?20时，模型②的年利润增量的预测值为
??25?ln20?32?25??2ln2?ln5??32?25??2?0.6931?1.6094??32?42.89y（万元），
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠. 【点睛】
本题考查统计案例的综合问题，涉及正态分布求概率、独立重复试验的概率运算以及利用最小二乘法求回归直线方程，还考查了由相关系数的平方比较模型的拟合程度，属于难题.
21．已知函数f?x??ex?x?2??12a?x?1??e?a?R?. 2（1）若x?1是f?x?的极小值点，求实数a的取值范围； （2）若a?e，证明：当m?2时，
x?f?x??mlnx?x2?2x. x?1??【答案】（1）a????，e?；（2）证明见解析
【解析】（1）求得f?x?的定义域，并求导，利用分类讨论当a?0时，分析单调性显然成立；当a?0时，令f??x??0，得x?1或x?lna，再利用分类讨论两根的大小，
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2024届 云师大附中 高三适应性月考(九)数学(理)试题(解析版)
