【答案】73 2【解析】由AO?AB?AC得OB??AC，则四边形OBAC是平行四边形，由O是
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur?ABC的外心,又AO?AB，所以?OAB是正三角形，则四边形OBAC是菱形，由
投影的运算公式即可求得答案. 【详解】
由AO?AB?AC，得OB??AC，所以四边形OBAC是平行四边形，
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur因为O是?ABC的外心,又AO?AB，所以?OAB是正三角形，则四边形OBAC是
菱形，
所以CA在CB方向上的投影为CAcos故答案为：【点睛】
本题考查平面向量的投影的运算，属于中档题. 15．在锐角?ABC中，B?73 2uuuruuruuur?6?73. 2?3，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
cosAcosC3，则a?c的取值范围是______． ??ac2ac【答案】?，3?
2【解析】由已知关系结合余弦定理化简整理可得b，再由正弦定理表示外接圆半径以及
?3???a，c边，并由辅助角公式整理为一个角的三角函数，又由三角形为锐角三角形构建不
等式关系求得角A的取值范围，从而可求得a+c的范围. 【详解】
b2?c2?a2a2?b2?c2cosAcosC33，化简得由结合余弦定理得??2bc2ab??ac2acac2acb?3， 2由正弦定理，得?ABC的外接圆直径2R?则a?c?sinA?sinC?sinA?sin?b?1， sinB???2????A??3sin?A??，
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??0?A?,????2又?ABC为锐角三角形，则有?解得?A?，故
62?0?C?2??A??,?32??3?A??6?2?， 3??所以a?c?3sin?A????3????，3?. 6??2?故答案为：?【点睛】
?3?,3? ?2?本题考查求三角形两边和的取值范围，常由正弦定理转化为角的关系，由锐角或钝角三角形求得角的范围，进而解决问题，属于较难题.
???，若存在一次函数g?x??kx?b，使得对于任意的16．函数f?x?的定义域为t，x??t，???，都有f?x??g?x??1恒成立，则称函数g?x?在?t，???上的弱渐进函
数.下列结论正确的是______．（写出所有正确命题的序号） ①g?x??x是f?x??????上的弱渐进函数； x2?1在?1，1，???上的弱渐进函数； 在?1x②g?x??2x?1是f?x??3x?，???上的弱渐进函数； ③g?x??3x?4是f?x??xlnx在?1④g?x??x?1是f?x??【答案】①④
【解析】根据弱渐进函数的新定义，对4个命题分别构建f?x??g?x? ①构建关系，并分子有理化，由不等式性质可知符合题意，正确； ②构建关系，由双勾函数值域可知不符合题意，错误；
③构建关系，取特值G?e?，其绝对值大于1，不符合题意，错误； ④构建关系，求导分析单调性，求得值域，符合题意，正确. 【详解】
①由于f?x??g?x??x???上的弱渐进函数. ?x在?1，xex2?1?x?1x?1?x2?x?1?，所以x2?1?x?1，所以
0?1x?1?x2?1，所以①正确；
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②设F?x??3x?所以②错误；
11??2x?1??x??1，当x?1时，F?x??1，不符合F?x??1，xx③设G?x??xlnx?3x?4，G?e??4?2e??1，G?e??1，不符合G?x??1，所以③错误；
x1?x1?xx???1Hx?Hx??0Hx??1，，当时，，x?1??????exexexex1x，???上单调递减，所以H?x??H?1???1；又x?1时，x?0，在?1eex1H?x??x?1??1，即?1?H?x???1?0，所以H?x??1，④正确，综上，①
ee④设H?x??④正确. 故答案为：①④ 【点睛】
本题考查函数新定义问题，需根据定义精准对应定义要求，属于难题.
三、解答题
17．已知正项等比数列?an?的前n项和Sn满足4Sn?2?Sn?6. (1)求数列?an?的首项a1及公比q;
1b?(2)若?an?的前n项积为Tn,nlogT,求数列?bn?的前n项和Pn.
1n?12【答案】(1)a1?1,q?2n1.(2)Pn?
n?121a2,4【解析】(1)由4Sn?2?Sn?6,得到4S3?S1?6,4S4?S2?6,两式相减得a4?求得q?1，再由4S3?S1?6，求得a1的值； 2(2)由(1)知an???法，即可求解. 【详解】
?1??2?n?1,求得T??1?n??n?n?1?2?2?,进而得到bn?2?1??1??,再结合裂项?nn?1?(1)由题意，正项等比数列?an?的满足4Sn?2?Sn?6, 可得4S3?S1?6,4S4?S2?6,
a4112q??,解得q??1， 两式相减得a4?a2,所以
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又q?0,所以q?1， 2又由4S3?S1?6，可得4?a1?a2?a3??a1?6,解得a1?1. (2)由(1)知an?a1q0n?1?1?????2?1n?1,
n?n?1?2所以T??1???1???????1?n??????n?1?2??2??2??1?????2?,
b?所以n121??1??2???log1Tn?1n?n?1??nn?1?,
2则Pn?2??1?【点睛】
????1??11?1??1?2n?1??????????21?. ?????????2??23?nn?1n?1n?1?????本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项和公式，以及“裂项法”求和，其中解答中熟记等比数列的通项公式和前n项和公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于常考题.
18．如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA?平面ABCD，
EDPPA，且PA?2ED?2.
（1）证明：平面PAC?平面PCE；
（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求平面CPB与平面CDE所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）7 7【解析】（1）连接BD交AC于点O，取PC的中点F，连接OF，EF，由中位线定理，和空间中平行的传递性可证四边形OFED为平行四边形，即OD//EF，由已知线面垂直和菱形证得OD?平面PAC，所以EF?平面PAC，再由面面垂直的判定定理得证；
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（2）由直线PC与平面ABCD所成的角为45°求得AP，分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A?xyz，有空间坐标表示法表示点
P,C,E,D,B,进而求得平面CPB和平面CDE的法向量，由向量的数量积求夹角的公式
求得，法向量的夹角，观察已知图形为锐二面角，作答即可. 【详解】
（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，取PC的中点F，连接OF，EF， ∵O，F分别是AC，PC的中点， ∴OF//PA，且OF?∵DE//PA，且DE?1PA， 21PA， 2∴OF//DE,且OF?DE，
∴四边形OFED为平行四边形，∴OD//EF. ∵PA?平面ABCD，OD?平面ABCD， ∴PA?OD，
又ABCD是菱形，AC?OD，PAIAC?A， ∴OD?平面PAC，∴EF?平面PAC， 又EF?平面PCE， ∴平面PAC?平面PCE.
（2）由直线PC与平面ABCD所成的角为45°知，?PCA?45o，∴AC?PA?2， ∴?ABC为等边三角形.设BC的中点为M，则AM?BC.
如图，分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A?xyz，
0，2?，C则P?0，，，0?，E?0，?1，0?， 2，0?，B?3，21，?，D?0，?31uuuvuuuvuuuvuuuvPC??31，，?2?，CE???311，，，，DE?0，01，CB??0，?2，0?， ???设m??x，y，z?为平面CPB的法向量，
rvruuu??m?PC?0,?r?3x?y?2z?0,?x?2,0，3. v则?ruuu即?令x?2，可得?即m?2，?2y?0,z?3,m?CB?0,???????设n??x1，y1，z1?为平面CDE的法向量，
rvruuuz1?0,?n?DE?0,?r?，3，0， v则?ruuu即?令x1?1，可得n?1?n?CE?0,???3x1?y1?z1?0,??第 15 页 共 25 页
2020届 云师大附中 高三适应性月考(九)数学(理)试题(解析版)
