第十一章 曲线积分与曲面积分 引入：在上一章中，我们研
究了二元函数在平面有界闭区域上的二重积分和三元函数在空间有界闭区域上的三重积分，我们知道：重积分的计算都可以化成定积分来完成.这一章给大家介绍二元函数在平面曲线上的平面曲线积分、三元函数在空间曲线上的空间曲线积分以及三元函数在空间曲面上的曲面积分，这些积分的计算可由定积分或重积分来完成 第一节 对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的相关概念 1.引例：曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所处的位置在平面内的一段曲线弧上，它的端点为 ，曲线弧上任一点的线密度为，求曲线形构件的质量 (1). 大化小：在曲线弧任取一组点将分成个小弧段， 第个小弧段的质量为，则 (2). 常代变：记小弧段的长度为si，在小弧段上任取一点，则有 ， (3). 近似和： (4). 取极限：令为个小弧段的长度的最大值，有 抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对弧长的曲线积分 2. 对弧长的曲线积分的定义：设函数在平面上的一条光滑曲线上有界，在上任意插入个点将分成个小弧段，设第个小弧段
的长度为si，在其上任取一点，作乘积，有
和 ， ，当时，若极限总存在，则称此极限值为函数 曲线弧对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即 ， 其中叫做被积函数，叫做积分弧段，叫做弧长微元. 注： 1°.若函数在曲线弧上连续，则曲线积分存在 2°.第一类曲线积分与积分弧段的方向无关，即事
实上： ， ， . 段的长si与曲线弧的方向无关，恒为正值 3°. 定积分不是第一类曲线积分的特例，因为 的方向有关 4°. 若是闭曲线，则在上的第一类曲线积分为： 5°. 若，且积分弧段的长为，则 6°. 可推广：三元函数在空间曲线上的第一类曲线积分： 3. 物理意义：可求长的物质曲线的质量，即在引例中， 二、对弧长的曲线积分的性质：假
设各个曲线积分都存在 1. 线性性质：设、是常数，则 2.积分弧段的可加性：若积分弧段可以分成两段光滑曲线弧和，则 3.不等式性质：若在上，，则. 4. 绝对值不等式性质： 三、对弧长的曲线积分的计算：化曲线积分为定积分 定理：设在曲线弧上有
定义且连续，的参数方程为： 且，则曲线积分存在，、在 且 注： 1°.若曲线弧的方程为，则的方程为：，有 2.若曲线弧的方程为 ，则的方程为：，有 3°.可推广：若
空间曲线弧的参数方程为 ，则 例1.计
算 ，其中是抛物线上点与点之间的一段弧 ，
解：由于曲线弧的参数方程为 因此
例2. 计算半径为、中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量(设线密度). 解：建立坐标系如图，则所求转动惯量 ，于是 取的参数方程
为
. 例3.计算曲线积分，其中
为螺旋线、、 于从到的一段弧.
解： .
第二节 对坐标的曲线积分 一、 对坐标的曲线积分的相关概念 1. 引例: 变力沿曲线所作的功 设一质点受变力的作用,在平面内从点沿光滑曲线弧移动到点其中和在上连续，求移动过程中变力所作的的功. (1). 大化小：在曲线弧任取一组点将分成个小弧段， 变力沿第个小弧段所作的功为，则 (2). 常代变：有向小弧段可用有向线段来代替 在小弧
段上任取一点，则有 ， (3). 近似和：
(4). 取极限：令为个小弧段的长度的最大值，有 抽取这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对坐标的曲线积分 2. 对坐标的曲线积分的定义：设函数、在平面内的从点到点的一条有向光滑曲
线弧上有界，在上沿的方向任意插入个点 将分成个有向小弧段()， ，，在其上任取一点，作乘积与 和式与，当个小弧段的直径最大值时， (1). 若极限总存在，则称此极限值为函数
在有向曲线弧 的曲线积分，记作 (2). 若极限总存在，则称此极限值为函数在有向曲线弧
的曲线积分，记作 其中、叫做被积函数，叫做积分弧
段. 以上两个积分也称为第二类曲线积分，有时也写成 注： 1°.若、在上都连续，则对坐标的曲线积分、都存在 2°.若为空间曲线弧 , 则有 3°.对坐标的曲线积分的物理意义：变力沿曲线所做的功 二、对坐标的曲线积分的性质 1. 线性性质：设、是常数，则 2.积分曲线的可加性：若有向曲
线弧段可以分成两段光滑的有向曲线弧和，则
3.方向性： 记表示的反向弧，则. 注：定积分是对坐标的曲线积分的特例 三、对坐标的曲线积分的计算：化曲线积分为定积分 定理：设函数、在有向曲线弧上有定义且连续，的参数方程为： 当参数单调的由变
到时，点从的起点运动到终点.、在或且，则曲线积分存在，
且 注： 1°.与的大小不定，与积分曲线弧的方
向有关 2°.若曲线弧的方程为，则的参数方程为：，有 其中参数对应的起点，对应的终点 3°.若曲线弧的方程为，则的参数方程为：，有 其中参数对应的起点，对应
的终点 4°.可推广：若空间有向曲线弧的参数方程为，
则 ， 其中对应的起点，对应的终点. 四、两类曲线积分之间的联系 设函数、在有向曲线弧上连续，的参数方程为：，起点 终点分别对应参数和，假设.、在 ，则对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的联系为： ， 其中、是曲线弧的切向量的方向余弦. 推导：由对坐标的曲线积分的计算公式，有 ， 又曲线弧的切向量的方向余弦
为 ， ， 由对弧长的曲线积分的
计算公式，有 ， 从而有 注：可推广到两类空间曲线积分之间的联系： 例1.计算，其中为
抛物线上从点到点的一段弧 解法(一)：取为参数，
则， ，；，, 于
是 . 解法(二)：取为参数，则，,于是 . 例2.计算，其中为： (1).半径为、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周； (2).从点沿轴到点的直线. 解： (1). 取的参数方程为：，，于是 . (2). 的方程为：，，于是 例3.计算，其中为： 注：相同的函数在同一起点沿不同路径到同一终点的第二类曲线积分值可以不同 (1).抛物线上从到的一段弧； (2).抛物线上从到的一段弧； (3).有向折线，这
里、、依次是点，，. 解： (1). 的方程为：，，于是
(2). 的方程为：，，于是 (3). ，，；，, 于是
注：相同的函数在同一起点沿不同路径到同一终点的第二类曲线积分值可以
相同. 例4.计算，其中是从点到点的直线段 解：直线
段 ，化为常数方程得，，于是 第三节 格林公式及其应用 引入：在一元函数积分学中，我们知道牛顿—莱布尼兹公式 分和原函数(不定积分)联系起来，这节课我们来学习联系二元函数分的公式—格林公式，通过它可以把平面有界闭区域D上的二重积分和区域D的边界曲线上的曲线积分联系起来. 一、格林公式 1.单连通区域：若平面区域D内任一闭曲线所围成的部分都属于，则称D 区域，否则称为复连通区域 注：单连通区域就是不含洞或点洞的区域，复连通区域就是含洞或点洞的区域. 2.闭曲线的正向：若观察者沿平面区域的边界曲线的某一方向行走时， 区域D在他近处的那部分总在他左侧，则称这一方向为曲线的正向. 3.格林公式： 定理：设闭区域D由分段光滑的曲线围成，若函数及在D 偏导数，则有，其中是的取正向的边界曲线 注： 1°.对于复连通区域，格林公式右端曲线积分应为沿区域的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向 2°.若，则有平面闭区域D
的面积公式 .这是因为 3°.若取负向，则有. 例1.求椭圆所围成图形的面积. 解：由格林公式有 . 例2.设
是任意一条分段光滑的闭曲线，证明 证明：令 ，于是
例3.计算，其中是以，，为顶点的三角形闭区域 解：
令 ，于
是 . 例4. 计
算 ，其中是一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，
方向为逆时针方向 解：记闭曲线所围成的区域为D，当时，
有 ，， . (1).当时，由格林公式得 (2).当时，以原点为心、以适当小的作位于D内的圆周.记和所围成的闭区
域为 对复连通区域应用格林公式，有从而有 ，，
高等数学第六版(同济版)第十一章复习资料汇总
