所以AM的最大值为
?－4＋1?＋?1?＋2＝32. ????2??2?2?
22
解法2(参数法) 因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，同解法1可知直线CD的方程为4－4y
ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，得a＝.又因为O，P，M三点共线，所以ay－(a＋4)x＝0，得a
x＋y1?2?1?214x4－4y4x?＝.因为a＝＝，所以点M的轨迹方程为?x＋?＋?y－?＝(除去原点)，所以AM的最大值为
y－xx＋yy－x?2??2?2
?－4＋1?＋?1?＋2＝32. ???2?2???2?
解后反思 此类问题往往是求出一点的轨迹方程，转化为定点到曲线上动点的距离的最值问题，而求轨迹方程，解法1运用了几何法，解法2运用了参数法，消去参数a得到轨迹方程．另外要熟练记住过圆上一点的切线方程和圆的切点弦方程的有关结论．
【变式2】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x?1)?y?2，点A(2，0)，若圆C上存在点M，满足MA?MO?10，则点M的纵坐标的取值范围是 ．
【答案】 [?222222
77,] 22 思路分析：根据条件可得动点M的轨迹是圆，进而可以将问题转化为圆与圆的位置关系进行处理. 解题过程：设M(x,y)，因为MA2?MO2≤10,所以(x?2)?y?x?y?10，化简得
2222x2?y2?2x?3?0，则圆C:x2?y2?2x?1?0与圆C':x2?y2?2x?3?0有公共点，将两圆方程相减
可得两圆公共弦所在直线方程为x??17722，代入x?y?2x?3?0可得?，所以点M的纵坐?y?222标的取值范围是[?77,]． 22解后反思：在解决与圆相关的综合问题时，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题.
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2＋y2＝4上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为________．
【答案】 [6－2，6＋2]
【解析】思路分析 本题考查圆的方程和性质，考查等价转化和运算求解能力，借助直角三角形的性质，把求BC的长转化为求2AM的长，而A为定点，思路1，求出M的轨迹方程，根据圆的性质及直角三角形的性质不难求得，其轨迹为一个圆，问题就转化为一定点到圆上一点的距离，这是一个基本题型，求解即得；思路2，设出AM＝x，OM＝y，寻找到x，y之间的关系式，通过线性规划的知识去处理．
解法1 设BC的中点为M(x，y)．
因为OB＝OM＋BM＝OM＋AM， 所以4＝x＋y＋(x－1)＋(y－1)，
2
2
2
2
22222
?1?2?1?23化简得?x－?＋?y－?＝，
?2??2?2
6?11?所以点M的轨迹是以?，?为圆心，为半径的圆， 2?22?所以AM的取值范围是?
6＋2??6－2，?，
2?2?
所以BC的取值范围是[6－2，6＋2]．
解法2 设BC的中点为M，设AM＝x，OM＝y. 因为OC＝OM＋CM＝OM＋AM，所以x＋y＝4. 因为OA＝2，所以x＋y≥2，x＋2≥y，y＋2≥x. 如图所示， 可得x∈?
6＋2??6－2
，?，
2?2?
2
2
2
2
2
2
2
所以BC的取值范围是[6－2，6＋2]．
解后反思 求线段的长度范围，如果一个端点为定点，这时可以考虑运用轨迹法，求出另外一个端点的轨迹，问题迎刃而解．
【变式4】在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．
【答案】32
【解析】思路分析 因为直线l1，l2分别经过定点A(0,2)，B(2,0)，且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆C上．
??kx－y＋2＝0，
解法1 当k＝0时，点P(2,2)到直线x－y－4＝0的距离为22；当k≠0时，解方程组?得
?x＋ky－2＝0?
两直线交点P的坐标为?k
4?1＋k2＋1?
?2－2k，2＋2k?，所以点P到直线x－y－4＝0的距离为
?
?1＋k21＋k2?
?2－2k－2＋2k－4??1＋k21＋k2???
2
＝
?
2
k3
4?1＋k2＋1?4×
2???k11
，为求得最大值，考虑正数k，则有＝≤，所以≤＝32.
21＋k2122＋kk
|1－1－4|
解法2 圆C的圆心为C(1,1)，半径r＝2.因为圆心C到直线l：x－y－4＝0的距离为d＝＝22，
2所以点P到直线l的距离的最大值为d＋r＝32.
解后反思 直接求出l1，l2的交点P的坐标(用k表示)虽然也能做，但计算量较大．找出点P变化的规律性比较好．
【变式5】(2018南京、盐城一模） 在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k(x－33)上存在一点P，圆→→
x2＋(y－1)2＝1上存在一点Q，满足OP＝3OQ，则实数k的最小值为________．
【答案】 －3
→→
【解析】思路分析 由于点Q在圆上运动，导致点P也随之移动，所以可以根据OP＝3OQ，得出点P的轨迹方程，从而转化为直线与曲线的位置关系问题．
xy?x?2?y?2→→??22
设点P(x，y)，由OP＝3OQ可得Q?3，3?.又点Q在圆x＋(y－1)＝1上，可得?3?＋?3－1?＝1，即x2
＋(y－3)2＝9，所以点P既在圆x2＋(y－3)2＝9上，又在直线y＝k(x－33)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d＝
|－3－33k|
1＋k2
≤3，解得－3≤k≤0.
【变式6】(2017徐州、连云港、宿迁三检）在平面直角坐标系xOy中，圆C:(x?2)2?(y?m)2?3．若圆C存在以G为中点的弦AB，且AB?2GO，则实数m的取值范围是 ．
【答案】[?2,2]
【解析】 设点G(x,y)，因为G为中点的弦AB，且AB?2GO，所以AG?GO?在Rt?AGC中，AC?222x2?y2，
3，CG?(x?2)2?(y?m)2，?AGC?90?，
2222m22?m2由AC?AG?CG得：3?x?y?(x?2)?(y?m)，即(x?1)?(y?)?，
242
2?m2?0，所以?2?m?2，即所求是实数m的取值范围是[?2,2]。 显然
4点评：解决本题的关键是要有轨迹意识，求出点G的轨迹方程并保证轨迹存在即可；诸如此类试题在近几年的调研试题值屡见不鲜，例如苏北三市（连云港徐州宿迁）2015届高三第三次调研测试的第12题与此题类似：在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x?a)?(y?a?2)?1,点A(0,2),若圆C上存在点M,满足MA?MO?10,则实数a的取值范围是 .（答案：[0,3]）
【关联1】(2018南京、盐城、连云港二模）在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)2＋(y→→→
－a)2＝16上的两个动点，且AB＝211.若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得PA＋PB＝OC，则实数a的值为________．
【答案】2或－18
【解析】解法1 设AB的中点为M(x0，y0)，P(x，y)，则由AB＝211得，CM＝16－11＝5，即点Ma→→→→1→
－2，?，从而的轨迹为(x0＋4)2＋(y0－a)2＝5.又因为PA＋PB＝OC，所以PM＝OC，即(x0－x，y0－y)＝?2??2x＝x－2，??0a?2?2
?a则动点P的轨迹方程为(x＋2)＋?y－2?＝5，又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以直线ly＝y＋，?2?0
和动点P的轨迹(圆)相切，则
2222?－4－a?2??
22＋（－1）2
＝5，解得，a＝2或a＝－18.
解法2 以上同解法1，则动点P(#)
的轨迹方程为(x＋2)2＋
?2x－a?＝5，整理得5x2＋(4－2a)x＋a－1＝0，
2??4
2
2
又因为直线l上存在唯一的一个点P，所以(#)式有且只有1个实数根，所以整理得a2＋16a－36＝0，解得，a＝2或a＝－18.
Δ＝(4－2a)2－20
?a－1?＝0，
?4?
2
解法3 由题意，圆心C到直线AB的距离d＝16－11＝5，则AB中点M的轨迹方程为(x＋4)2＋(y－→→→→→→→
a)2＝5.由PA＋PB＝OC得2PM＝OC，所以PM∥OC.如图，连结CM并延长交l于点N，则CN＝2CM＝25.|2×（－4）－a|
故问题转化为直线l上存在唯一的一个点N，使得CN＝25，所以点C到直线l的距离为2＝
2＋（－1）225，解得，a＝2或a＝－18.
【关联2】(2019苏州期初调查） 已知圆C的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，若直线3x＋y＝3上存在一点P，在圆C上总存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则圆C的半径r的取值范围是________．
【答案】?
410?，＋∞. ?15?
【解析】如图，连结PC，依次交圆于E，F两点，连结MF，EN，
︵
因为∠PNE和∠PFM都是弧ME的圆周角，由圆周角定理可得∠PNE＝∠PFM，又∠NPE＝∠FPM，所以PNPE
△PNE∽△PFM，所以＝，即PE·PF＝PM·PN，而PE＝PC－r，PF＝PC＋r.所以有PC2－r2＝PM·PN，
PFPM因为M是线段PN的中点，所以PC2－r2＝2MN2，又因为M，N是圆上的任意两点，则有0 设动点P(x，y)，圆心C坐标为(3，2)，则有0<(x－3)2＋(y－2)2－r2≤8r2，即r2<(x－3)2＋(y－2)2≤9r2，在一个圆环内，又因为P在直线3x＋y＝3上，所以直线3x＋y＝3与圆环有交点，即直线与圆(x－3)2＋(y－2)2＝9r2有交点，则有d＝|3×3＋2－3| 32＋12 410410?≤3r，解得r≥.所以圆C的半径r的取值范围是?，＋∞. 15?15? 题型二 圆与向量的综合问题 知识点拨：向量在圆部分的运用主要体现设点的问题，转化为轨迹问题。 在解决以圆为背景的动态问题的过程中，关键是建立动点与圆心或弦中点的关系，充分利用圆的几何性质，确定相关动点的轨迹，通过定性分析，定量计算，实现“以定制动”，将复杂问题化归为简单问题处理． →→ 例2、(2019宿迁期末） 已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在点M满足MA·MB＝3，则实数a的取值范围是________. 【答案】 [－2，1] →→ 【解析】解法1(坐标法求轨迹) 设M(x，y)，因为MA·MB＝3，所以点M的轨迹方程为(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝3即x2＋y2＝4，表示圆．又因为点M在圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上，所以两圆有交点，所以
2020年高考数学二轮提升专题训练考点19 直线与圆(2)含答案
