考点19 直线与圆（2）
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1
1、(2017苏州暑假测试）圆心在抛物线y＝x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程
2为________．
?1?22
【答案】(x±1)＋?y－?＝1
?2?
【解析】思路分析 求圆的方程就是要确定它的圆心与半径，根据圆与抛物线的准线以及与y轴都相切，得到圆心的一个等式，再根据圆心在抛物线上，得到另一个等式，从而可求出圆心的坐标，由此可得半径．
1
因为圆心在抛物线y＝x2上，所以设圆心为(a，b)，则a2＝2b.又圆与抛物线的准线及y轴都相切，故b
2111
y－?2＝1. ＋＝|a|＝r，由此解得a＝±1，b＝，r＝1，所以所求圆的方程为(x±1)2＋??2?22
→→
2、(2019扬州期末）已知直线l：y＝－x＋4与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1相交于P，Q两点，则CP·CQ＝________．
【答案】 0
?y＝－x＋4，?x＝2，??x＝3，??
??【解析】解法1(坐标法) 圆心C(2，1)，由?解得或即P(2，2＋（y－1）2＝1，???（x－2）y＝2y＝1，???
→→
2)，Q(3，1)，CP·CQ＝(0，1)·(1，0)＝0.
|2＋1－4|
解法2(定义法) 设弦PQ的中点为M，则圆心C(2，1)到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝CM＝＝22
，因此MQ＝R2－d2＝2
→→
所以CP·CQ＝0.
解法3(极化恒等式法) 设弦PQ的中点为M，则圆心C(2，1)到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝CM＝|2＋1－4|2
＝，因此MQ＝R2－d2＝2211
＝CM2－MQ2＝－＝0.
22
ππ12→→
1－＝.因为CM＝MQ，所以∠MCQ＝，从而∠PCQ＝，即有CP⊥CQ，
2242
12→→→→→→→→→→
1－＝，CP·CQ＝(CM＋MP)·(CM＋MQ)＝(CM－MQ)·(CM＋MQ)22
3、(2019南京、盐城一模）设A＝{(x，y)|3x＋4y≥7}，点P∈A，过点P引圆(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PA，PB，若∠APB的最大值为，则r的值为________．
3
【答案】1
【解析】解法1 设圆心为C.因为∠APB＝2∠APC，所以∠APC的最大值为，所以PC的最小值为2r，
6则
ππ|3×（－1）＋4×0－7|
32＋42
＝2＝2r，即r＝1.
解法2 如图，求出满足使∠APB最大值的点P轨迹，连接P点和圆心，由解法1可知点P到圆心的距离为2r.点P满足轨迹(x＋1)2＋y2＝4r2，因为存在唯一最大值．所以该圆和直线3x＋4y－7＝0 相切，此时满足圆心到直线的距离d＝2r，又因为d＝2，解得r＝1.
4、(2019常州期末）过原点的直线l与圆x2＋y2＝1交于P，Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为________．
【答案】y＝±3x
【解析】思路分析由PQ为圆的直径可得AP⊥AQ，从而得圆中kAP·kAQ＝－1，结合条件kAN·kAP＝1得出kAQ＝－kAN，从而得出角相等，围绕几何性质，解出本题．或者抓住AN⊥PQ，设点P坐标即可．
解法1 作图，易得直线PQ斜率存在且不为0.
由PQ为圆的直径可得AP⊥AQ，从而kAP·kAQ＝－1，又kAN·kAP＝1，所以kAQ＝－kAN，故∠QAO＝∠NAO.又∠QAO＝∠OQA，设∠QAO＝α，则∠NOA＝2α，则α＋2α＝90°，得α＝30°.故直线PQ的倾斜角为60°.由对称性知，直线PQ的倾斜角也可为120°，所以kPQ＝±3.所以直线l的方程为y＝±3x.
y0
2解法2 设P(x0，y0)，易知x0≠0，－1，y0≠0，则x20＋y0＝1，kPQ＝.由PQ为圆的直径得AN⊥PQ得x0
x0x0y013y0
kAN＝－，kAN·kAP＝－·＝1，得x0＝－，y0＝±，kPQ＝＝±3.所以直线l的方程为y＝±3x.
y0y0x0＋122x0
5、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x
－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9，若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．
【答案】x2＋y2＝81
【解析】思路分析 圆C平分圆C1等价于：两圆的公共弦是圆C1的直径．
222???a－4?＋?－8?＋1＝r，22
设圆C的圆心为C(a,0)，半径为r，则r2＝CC2解得1＋1且r＝CC2＋9，即?
??a－6?2＋62＋9＝r2，?
?a＝0，?
?所以圆C的方程为x2＋y2＝81. 2??r＝81.
6、(2018南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．
4
【答案】－
3
【解析】思路分析 “圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上”等价于“圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆与直线kx＋y＋3＝0有公共点”．
圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得圆心(2，－2)到直线kx|2k－2＋3|44
＋y＋3＝0的距离d＝≤1，解得－≤k≤0，所以实数k的最小值为－. 33k2＋1
7、(2019南通、泰州、扬州一调）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－4)2＋y2＝4.若存在过点P(m，0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是________．
4
－4，? 【答案】 ?3??
【解析】当直线l斜率不存在时，l与两个圆不可能都相交，故不成立；当l斜率存在时，设l的方程为y
2＝4－d2，即d2－d2＝k(x－m)，即kx－y－km＝0，设圆O、圆C到直线l的距离分别为d1，d2，则有：1－d1221
|4k－km|2|－km|2
＝3，所以－＝3，整理得
1＋k21＋k2
|－km|21＋k216－8m31322<16－8m＝3＋2>3，解得m<，又直线与圆相交，所以d1<1，则<1，即m<，所以m，k8k231＋k2
44
－4，? . 即3m2＋8m－16<0，解得－4 8、(2019苏北三市期末） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2＋2mx－(4m＋6)y－4＝0(m∈R) 222则实数m的值为________．与以C2(－2，3)为圆心的圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足x2 1－x2＝y2－y1， 【答案】－6 2222222 【解析】 思路分析 本题是圆的综合题，对于题目条件x21－x2＝y1－y1.可以变形为x1＋y1＝x2＋y2，从 而可从几何和代数两个角度求解． 解法1 由题可得C1(－m，2m＋3)，C2(－2，3)． 2222222由x21－x2＝y2－y1，得x1＋y1＝x2＋y2，即OA＝OB，故△OAB为等腰三角形，所以线段AB的中垂线经 过原点O.又相交两圆的连心线垂直平分公共弦，所以，两圆圆心的连线就是线段AB的中垂线，即直线C1C2过原点O，所以C1，C2，O三点共线，所以－3m＝－2(2m＋3)，解得m＝－6. 2解法2(代数法) 将A(x1，y1)，B(x2，y2)带入圆C1：x2＋y2＋2mx－(4m＋6)y－4＝0中得：x21＋y2＋2mx1 2222222 －(4m＋6)y1－4＝0，x2由x2得x2从而2mx1－(4m2＋y2＋2mx－(4m＋6)y2－4＝0，1－x2＝y2－y1，1＋y1＝x2＋y2， ＋6)y1＝2mx2－(4m＋6)y2，所以2m(x1－x2)＝(4m＋6)(y1－y2) ① 设圆C2为半径为r(r>0)，则圆C2：(x＋2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)，即x2＋y2＋4x－6y＋13－r2＝0，再将A(x1， 22222y1)，B(x2，y2)代入圆C2方程中得，x21＋y1＋4x1－6y1＋13－r＝0，x2＋y2＋4x2－6y2＋13－r＝0， 222 由x21＋y1＝x2＋y2，从而4x1－6y1＝4x2－6y2，所以2(x1－x2)＝3(y1－y2) ② 2m4m＋6由①②得＝，从而m＝－6. 23 9、(2019南京学情调研） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(1，－1)，点P为圆(x－4)2＋S1 y2＝4上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则的最小值是________． S2 【答案】2－3 【解析】 思路分析 解决本题首先面临三角形面积公式的选择，其次面临如何把变量a，b，c转化为11 一个或两个变量．△OAP，△OBP的面积表示形式．解法1选择S△OAP＝OA×hPA，S△OBP＝OB×hPB来解题(点P 2211 到直线OA的距离为hPA，点P到直线OB的距离为hPB)；解法2选择S△OAP＝OA×OPsin∠AOP，S△OBP＝OB×OPsin22∠BOP来解题． |x－y| 解法1(点参数) 设点P(x，y)，则OA＝2，OA：x－y＝0，点P到直线OA的距离d1＝，则S1＝ 2 |x＋y||x＋y||x－y||x－y|11 ×2×＝.又OB＝2，OB：x＋y＝0，点P到直线OB的距离d2＝，则S2＝×2×222222 ＝ |x＋y| x－yS1|x－y|?x－y?，故＝＝?，令k＝，则(k－1)x＋(k＋1)y＝0，因为点P在圆上，所以圆心到点P?2S2|x＋y|?x＋y?x＋y S1 ≤2，解得2－3≤k≤2＋3，故的最小值为2－3. S2（k－1）2＋（k＋1）2 的距离要小于等于半径，故 |4（k－1）| ππ1 解法2(角参数)设∠AOP＝α，易知OA＝2，OB＝2，∠AOB＝，则∠BOP＝－α，S1＝×2× 222ππ12S1 OPsinα，S2＝×2×OPsin?－α?＝OPcosα，故＝tanα，由图易知，当直线OP与圆相切时，α＝4 2S24?2?2 － ππππ5ππ5ππS1 ＝，或α＝＋＝，故角α的取值范围是[，]，所以的最小值为tan ＝2－3. 61246121212S212 【问题探究，变式训练】 题型一 隐圆问题 知识点拨：隐圆问题时近几年江苏高考个各类模拟的热点，解决此类问题的关键是让“圆”显现出来，主要体现以下几点：1、根据定义，确定圆·2、符合“阿波罗尼斯圆”的条件；3、根据轨迹确定为圆。然后转化为直线与圆或者圆与圆的位置关系来求解。 例1、(2019镇江期末） 已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________． 【答案】－2≤a≤2. 【解析】思路分析 考察点P的轨迹C，轨迹C与圆M有公共点．利用圆与圆的位置关系求解． 由PA⊥PB，PA⊥AO，PB⊥OB，PA＝PB，得四边形PAOB是正方形，所以P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆． 又点P也在圆M上，所以OM≤2＋2，得a2＋22≤8，解得－2≤a≤2. 【变式1】（2018年苏州一模） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为________． 【答案】 32 【解析】思路分析 P在直线AB：y＝x＋4上，设P(a，a＋4)，可以求出切点弦CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，易知CD过定点，所以M的轨迹为一个定圆，问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值． 解法1(几何法) 因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以 ?ax1＋（a＋4）y1＝4，?PC方程为x1x＋y1y＝4，PD：x2x＋y2y＝4，将P(a，a＋4)分别代入PC，PD方程，?则直 ??ax2＋（a＋4）y2＝4， 线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，所以直线CD过定点N(－1，1)， ?1?又因为OM⊥CD，所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点)，又因为以ON为直径的圆的方程为?x＋?＋ ?2??y－1?＝1， ?2?2?? 2 2
2020年高考数学二轮提升专题训练考点19 直线与圆(2)含答案
