考点19 直线与圆(2)
【知识框图】
【自主热身,归纳总结】
1
1、(2017苏州暑假测试)圆心在抛物线y=x2上,并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程
2为________.
?1?22
【答案】(x±1)+?y-?=1
?2?
【解析】思路分析 求圆的方程就是要确定它的圆心与半径,根据圆与抛物线的准线以及与y轴都相切,得到圆心的一个等式,再根据圆心在抛物线上,得到另一个等式,从而可求出圆心的坐标,由此可得半径.
1
因为圆心在抛物线y=x2上,所以设圆心为(a,b),则a2=2b.又圆与抛物线的准线及y轴都相切,故b
2111
y-?2=1. +=|a|=r,由此解得a=±1,b=,r=1,所以所求圆的方程为(x±1)2+??2?22
→→
2、(2019扬州期末)已知直线l:y=-x+4与圆C:(x-2)2+(y-1)2=1相交于P,Q两点,则CP·CQ=________.
【答案】 0
?y=-x+4,?x=2,??x=3,??
??【解析】解法1(坐标法) 圆心C(2,1),由?解得或即P(2,2+(y-1)2=1,???(x-2)y=2y=1,???
→→
2),Q(3,1),CP·CQ=(0,1)·(1,0)=0.
|2+1-4|
解法2(定义法) 设弦PQ的中点为M,则圆心C(2,1)到直线l:x+y-4=0的距离d=CM==22
,因此MQ=R2-d2=2
→→
所以CP·CQ=0.
解法3(极化恒等式法) 设弦PQ的中点为M,则圆心C(2,1)到直线l:x+y-4=0的距离d=CM=|2+1-4|2
=,因此MQ=R2-d2=2211
=CM2-MQ2=-=0.
22
ππ12→→
1-=.因为CM=MQ,所以∠MCQ=,从而∠PCQ=,即有CP⊥CQ,
2242
12→→→→→→→→→→
1-=,CP·CQ=(CM+MP)·(CM+MQ)=(CM-MQ)·(CM+MQ)22
3、(2019南京、盐城一模)设A={(x,y)|3x+4y≥7},点P∈A,过点P引圆(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条切线PA,PB,若∠APB的最大值为,则r的值为________.
3
【答案】1
【解析】解法1 设圆心为C.因为∠APB=2∠APC,所以∠APC的最大值为,所以PC的最小值为2r,
6则
ππ|3×(-1)+4×0-7|
32+42
=2=2r,即r=1.
解法2 如图,求出满足使∠APB最大值的点P轨迹,连接P点和圆心,由解法1可知点P到圆心的距离为2r.点P满足轨迹(x+1)2+y2=4r2,因为存在唯一最大值.所以该圆和直线3x+4y-7=0 相切,此时满足圆心到直线的距离d=2r,又因为d=2,解得r=1.
4、(2019常州期末)过原点的直线l与圆x2+y2=1交于P,Q两点,点A是该圆与x轴负半轴的交点,以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N,且直线AN与直线AP的斜率之积等于1,那么直线l的方程为________.
【答案】y=±3x
【解析】思路分析由PQ为圆的直径可得AP⊥AQ,从而得圆中kAP·kAQ=-1,结合条件kAN·kAP=1得出kAQ=-kAN,从而得出角相等,围绕几何性质,解出本题.或者抓住AN⊥PQ,设点P坐标即可.
解法1 作图,易得直线PQ斜率存在且不为0.
由PQ为圆的直径可得AP⊥AQ,从而kAP·kAQ=-1,又kAN·kAP=1,所以kAQ=-kAN,故∠QAO=∠NAO.又∠QAO=∠OQA,设∠QAO=α,则∠NOA=2α,则α+2α=90°,得α=30°.故直线PQ的倾斜角为60°.由对称性知,直线PQ的倾斜角也可为120°,所以kPQ=±3.所以直线l的方程为y=±3x.
y0
2解法2 设P(x0,y0),易知x0≠0,-1,y0≠0,则x20+y0=1,kPQ=.由PQ为圆的直径得AN⊥PQ得x0
x0x0y013y0
kAN=-,kAN·kAP=-·=1,得x0=-,y0=±,kPQ==±3.所以直线l的方程为y=±3x.
y0y0x0+122x0
5、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调) 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x
-4)2+(y-8)2=1,圆C2:(x-6)2+(y+6)2=9,若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周,则圆C的方程是________.
【答案】x2+y2=81
【解析】思路分析 圆C平分圆C1等价于:两圆的公共弦是圆C1的直径.
222???a-4?+?-8?+1=r,22
设圆C的圆心为C(a,0),半径为r,则r2=CC2解得1+1且r=CC2+9,即?
??a-6?2+62+9=r2,?
?a=0,?
?所以圆C的方程为x2+y2=81. 2??r=81.
6、(2018南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中,若圆(x-2)2+(y-2)2=1上存在点M,使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上,则实数k的最小值为________.
4
【答案】-
3
【解析】思路分析 “圆(x-2)2+(y-2)2=1上存在点M,使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上”等价于“圆(x-2)2+(y-2)2=1关于x轴的对称圆与直线kx+y+3=0有公共点”.
圆(x-2)2+(y-2)2=1关于x轴的对称圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=1,由题意得圆心(2,-2)到直线kx|2k-2+3|44
+y+3=0的距离d=≤1,解得-≤k≤0,所以实数k的最小值为-. 33k2+1
7、(2019南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=1,圆C:(x-4)2+y2=4.若存在过点P(m,0)的直线l,直线l被两圆截得的弦长相等,则实数m的取值范围是________.
4
-4,? 【答案】 ?3??
【解析】当直线l斜率不存在时,l与两个圆不可能都相交,故不成立;当l斜率存在时,设l的方程为y
2=4-d2,即d2-d2=k(x-m),即kx-y-km=0,设圆O、圆C到直线l的距离分别为d1,d2,则有:1-d1221
|4k-km|2|-km|2
=3,所以-=3,整理得
1+k21+k2
|-km|21+k216-8m31322<16-8m=3+2>3,解得m<,又直线与圆相交,所以d1<1,则<1,即m<,所以m,k8k231+k2
44
-4,? . 即3m2+8m-16<0,解得-4 8、(2019苏北三市期末) 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2+2mx-(4m+6)y-4=0(m∈R) 222则实数m的值为________.与以C2(-2,3)为圆心的圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足x2 1-x2=y2-y1, 【答案】-6 2222222 【解析】 思路分析 本题是圆的综合题,对于题目条件x21-x2=y1-y1.可以变形为x1+y1=x2+y2,从 而可从几何和代数两个角度求解. 解法1 由题可得C1(-m,2m+3),C2(-2,3). 2222222由x21-x2=y2-y1,得x1+y1=x2+y2,即OA=OB,故△OAB为等腰三角形,所以线段AB的中垂线经 过原点O.又相交两圆的连心线垂直平分公共弦,所以,两圆圆心的连线就是线段AB的中垂线,即直线C1C2过原点O,所以C1,C2,O三点共线,所以-3m=-2(2m+3),解得m=-6. 2解法2(代数法) 将A(x1,y1),B(x2,y2)带入圆C1:x2+y2+2mx-(4m+6)y-4=0中得:x21+y2+2mx1 2222222 -(4m+6)y1-4=0,x2由x2得x2从而2mx1-(4m2+y2+2mx-(4m+6)y2-4=0,1-x2=y2-y1,1+y1=x2+y2, +6)y1=2mx2-(4m+6)y2,所以2m(x1-x2)=(4m+6)(y1-y2) ① 设圆C2为半径为r(r>0),则圆C2:(x+2)2+(y-3)2=r2(r>0),即x2+y2+4x-6y+13-r2=0,再将A(x1, 22222y1),B(x2,y2)代入圆C2方程中得,x21+y1+4x1-6y1+13-r=0,x2+y2+4x2-6y2+13-r=0, 222 由x21+y1=x2+y2,从而4x1-6y1=4x2-6y2,所以2(x1-x2)=3(y1-y2) ② 2m4m+6由①②得=,从而m=-6. 23 9、(2019南京学情调研) 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(1,-1),点P为圆(x-4)2+S1 y2=4上任意一点,记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2,则的最小值是________. S2 【答案】2-3 【解析】 思路分析 解决本题首先面临三角形面积公式的选择,其次面临如何把变量a,b,c转化为11 一个或两个变量.△OAP,△OBP的面积表示形式.解法1选择S△OAP=OA×hPA,S△OBP=OB×hPB来解题(点P 2211 到直线OA的距离为hPA,点P到直线OB的距离为hPB);解法2选择S△OAP=OA×OPsin∠AOP,S△OBP=OB×OPsin22∠BOP来解题. |x-y| 解法1(点参数) 设点P(x,y),则OA=2,OA:x-y=0,点P到直线OA的距离d1=,则S1= 2 |x+y||x+y||x-y||x-y|11 ×2×=.又OB=2,OB:x+y=0,点P到直线OB的距离d2=,则S2=×2×222222 = |x+y| x-yS1|x-y|?x-y?,故==?,令k=,则(k-1)x+(k+1)y=0,因为点P在圆上,所以圆心到点P?2S2|x+y|?x+y?x+y S1 ≤2,解得2-3≤k≤2+3,故的最小值为2-3. S2(k-1)2+(k+1)2 的距离要小于等于半径,故 |4(k-1)| ππ1 解法2(角参数)设∠AOP=α,易知OA=2,OB=2,∠AOB=,则∠BOP=-α,S1=×2× 222ππ12S1 OPsinα,S2=×2×OPsin?-α?=OPcosα,故=tanα,由图易知,当直线OP与圆相切时,α=4 2S24?2?2 - ππππ5ππ5ππS1 =,或α=+=,故角α的取值范围是[,],所以的最小值为tan =2-3. 61246121212S212 【问题探究,变式训练】 题型一 隐圆问题 知识点拨:隐圆问题时近几年江苏高考个各类模拟的热点,解决此类问题的关键是让“圆”显现出来,主要体现以下几点:1、根据定义,确定圆·2、符合“阿波罗尼斯圆”的条件;3、根据轨迹确定为圆。然后转化为直线与圆或者圆与圆的位置关系来求解。 例1、(2019镇江期末) 已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-2)2=2.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得PA⊥PB,则实数a的取值范围为________. 【答案】-2≤a≤2. 【解析】思路分析 考察点P的轨迹C,轨迹C与圆M有公共点.利用圆与圆的位置关系求解. 由PA⊥PB,PA⊥AO,PB⊥OB,PA=PB,得四边形PAOB是正方形,所以P的轨迹是以原点O为圆心,2为半径的圆. 又点P也在圆M上,所以OM≤2+2,得a2+22≤8,解得-2≤a≤2. 【变式1】(2018年苏州一模) 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-4,0),B(0,4),从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC,PD,切点分别为C,D.设线段CD的中点为M,则线段AM长的最大值为________. 【答案】 32 【解析】思路分析 P在直线AB:y=x+4上,设P(a,a+4),可以求出切点弦CD的方程为ax+(a+4)y=4,易知CD过定点,所以M的轨迹为一个定圆,问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值. 解法1(几何法) 因为直线AB的方程为y=x+4,所以可设P(a,a+4),设C(x1,y1),D(x2,y2),所以 ?ax1+(a+4)y1=4,?PC方程为x1x+y1y=4,PD:x2x+y2y=4,将P(a,a+4)分别代入PC,PD方程,?则直 ??ax2+(a+4)y2=4, 线CD的方程为ax+(a+4)y=4,即a(x+y)=4-4y,所以直线CD过定点N(-1,1), ?1?又因为OM⊥CD,所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点),又因为以ON为直径的圆的方程为?x+?+ ?2??y-1?=1, ?2?2?? 2 2
2020年高考数学二轮提升专题训练考点19 直线与圆(2)含答案
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)