北京各区二模理科数学分类汇编
导数
（2０15届西城二模)18．（本小题满分1３ 分)已知函数则
1?xf(x)?1?ax2,其中a? R .
⑴ 当a??1时,求 ｆ (x)的单调区间; 4⑵ 当a＞ ０时，证明:存在实数m ＞ 0，使得对于任意的实数x,都有| ｆ (ｘ）|≤m成立. 18.（本小题满分13分) (Ⅰ)解：当a11?x， ??时,函数f(x)?141?x24 其定义域为{x?R|x??2}． ……………… 1分
?x2?2x?4?(x?1)2?3??0, ……………… 4分 求导，得f?(x)?1221224(1?x)4(1?x)44 所以函数
f(x)在区间(??,?2),(?2,2),(2,??)上单调递减. ……………… 5分
（Ⅱ）证明:当a?0时,f(x)?1?x1?ax2的定义域为R.
求导,得
f?(x)?ax2?2ax?1(1?ax)22, ……………… 6分
令
f?(x)?0，解得x1?1?1?1a?0，x2?1?1?1a?1， ……………… 7分
当x变化时,f?(x)与f(x)的变化情况如下表: (??,x1) ＋ x f?(x) x1 0 (x1,x2) x2 ０ (x2,??) + ? ↘ f(x) ↗ ↗ ……………… 10分 所以函数
f(x)在(??,x1)，(x2,??)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减.
又因为
f(1)?0,当x?1时,f(x)?1?x1?ax2?0；当x?1时,f(x)?1?x1?ax2?0,
所以当x≤1时,0≤f(x)≤f(x1)；当x?1时, 记M
f(x2)≤f(x)?0． ……………… 12分
?max{|f(x1)|,|f(x2)|}，其中max{|f(x1)|,|f(x2)|}为两数|f(x1)|，
|f(x2)|中最大的数，
综上，当a?0时，存在实数m?[M,??),使得对任意的实数x,不等式|f(x)|≤m恒
成立. ……………… 13分
(2015届海淀二模)
（1８)（共1３分） 解：（Ⅰ）令 故
f(x)?0，得x?e.
………………1分
f(x)的零点为e．
1(?)?x2?(1?lnx)?2x2lnx?3f'(x)?x?(x?0).
(x2)2x3?令
………………3分
f'(x)?0，解得 x?e32．
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表：
f(x) (0,e) 32e 32(e,??) ? ↗ 32f'(x) f(x) ?所以
? ↘ 320 32f(x)的单调递减区间为(0,e)，单调递增区间为(e,??).
………………6分
1?x?1?lnx1?lnxlnxx(Ⅱ）令g(x)?．则g'(x)???f(x)． ………………7分
xx2x211因为 f()?4?4ln2?4?4??6，f(e)?0，且由（Ⅰ)得，f(x)在(0,e)内是减函数,
221所以 存在唯一的x0?(,e),使得g'(x0)?f(x0)?6.
2当x?[e,??)时,
f(x)?0.
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