期末论文
课程名称：数值分析 院系名称：巢湖学院数学系 所在班级：11级数本（2）班 学生学号：11020170 学生姓名：张秀丽
目录
【题目】：牛顿形式的埃尔米特插值多项式
【摘要】：.........................................................
【关键词】：..........................................................
【正文】：
一、引言
二、重节点均差与泰勒插值
三、埃尔米特插值典例
四、牛顿形式的埃尔米特插值多项式的一些应用领域
【结束语】：.........................................................
【参考文献】：..........................................................
牛顿形式的埃尔米特插值多项式
【摘要】：在了解了插值法以后，陆续的又接触和学习到多项式插值、拉格朗日插值、牛顿插值多项式等，但在有些实际问题中，仍需要其它要求，下面又给出有关牛顿的埃尔米特插值的内容。 【关键词】：重节点均差、泰勒插值、泰勒插值多项式、埃尔米特插值。 【正文】： 一、引言
插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。早在一千多年前的隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋朝刘绰将等距节点二次插值应用于天文计算。但插值理论都是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。
在插值法的提出后我们了解了多项式插值；应用各种不同的方法对给定的插值点为求得形如P(x)=a0+a1x+...+anxn的插值多项式我们得到了线性插值与抛物线插值；把线性插值与抛物线插值推广到一般情形，通过讨论如何构造通过n+1个节点x0 容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为重要。但当插值点增减时，计算要全部重新进行，甚为不变，为了计算方便可重新设计一种逐次生成插值多项式的方法，通过一系列的考察与讨论我们利用均差得到了牛顿均差插值多项式Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...+ f[x1,...,xn](x-x0)...(x-xn-1)，随后还涉及了差分形式的牛顿插值公式等。 插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上倒数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式。 二、重节点均差与泰勒插值 先给出一个关于均差的结论。 设f?Cn[a,b],x0,x1,...,xn为[a,b]上的相异节点，则f[x0,x1,...,xn]是其变量的连续函数。 如果[a,b]上的节点互异，根据均差定义，若f?C1[a,b]，则有 由此定义重节点均差 limf[x0,x]=xx0limxx0f(x)-f(x0)=f'(x0). x-x0 f[x0,x0=]'. )fx[x,=]fx(00limx?x0类似地可定义重节点的二阶均差，当x11x0时，有 f[x0,x0,x]1=当x1?x0时，有 f[x0,x0,x0]=f[x0,x1]-f[x,0x]0. x1-x0limf[x0,x1,x2]=x1?x0x2?x01''f(x0) . 2f(n)(x),x [a,b]则得 一般地，可定义n阶重节点的均差，由f[x0,x1,...,xn]=n!f(n)(x0) f[x0,x0,...,x0]=limf[x0,x1,...,xn]=. n!xi?x0在牛顿均差插值多项式 Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...+f[x1,...,xn](x-x0)...(x-xn-1)中，若令xi?x0(i可得泰勒多项式 f(n)(x0)(x-x0)n. pn(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+...+n!'f(n)(x0)1,2,...,n)，则由f[x0,x0,...,x0]=limf[x0,x1,...,xn]=.n!xi?x0它实际上是在点x0附近逼近f(x)的一个带导数的插值多项式，它满足条件 pn(k)(x0)=fk(x0),k=0,1,...,n. 称 Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...+f[x1,...,xn](x-x0)...(x-xn-1)为泰勒插值多项式，它就是一个埃尔米特插值多项式，其余项为 f(n+1()x) Rn(x)=(x-x0)n+1,x (a,b), (n+1)!f(n+1)(x)它与插值余项Rn(x)=f(x)-Ln(x)=wn+1(x)中xi?x0(i(n+1)!1,2,...,n)的结 果一致.实际上泰勒插值是牛顿插值的极限形式，是只在一点x0处给出n+1个插 值条件pn(k)(x0)=fk(x0),k=0,1,...,n.得到的n次埃尔米特插值多项式. 三、埃尔米特插值典例 一般地只要给出m+1个插值条件（含函数值和导数值）就可造出次数不超过m次的埃尔米特插值多项式，由于导数条件各不相同，这里就不给出一般的埃尔米特插值多项式，只讨论两个典型的例子. 先考虑满足条件P(xi)=f(xi)(i=0,1,2)及P'(x1)=f'(x1)的插值多项式及其余项表达式. 由给定条件，可确定次数不超过3的插值多项式.由于此多项式通过点 (x0,f(x0))，(x1,f(x1))及(x2,f(x2))，故其形式为 Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...+A(x-x0)(x-x1)(x-x2)，其中A为待定常数，可由条件P'(x1)=f'(x1)确定，通过计算可得 A=f'(x-1)f[0x,1x-](1x-x)f[0x,1x,2x]0. (x1-x0)(x-x2)1为了求出余项R(x)=f(x)-P(x)的表达式，可设 R(x)=f(x-)P(x=)k(x)-(0x2x)-(1xx)-2(，x x)其中k(x)为待定函数.构造 j(t)=f(t-)P(t-)k(x)-(t0x-)1(t2，x)-2(t x)显然j(xj)=0(j=0,1,2)，且j'(x1)=0,j(x)=0.故j(t)在(a,b)内有5个零点（二重根算两个）.假设f具有较好的可微性，反复应用罗尔定理，得j(a,b)内至少有一个零点x，故 (4)(t)在 j于是 k(x)=余项表达式为 R(x)=1(4）f（x）x(-x0x)(-x14!2(4)(x)=f(4)x(-)k4!x=()， 01(4）f（x）， 4!x)-(x2， )式中x位于x0,x1,x2和x所界定的范围内.
牛顿形式的埃尔米特插值多项式
