v1.0 可编辑可修改 高三数学第二轮专题复习系列(8)——圆锥曲线
一、知识结构 1.方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.
点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线 C上?f(x0,y 0)=0；
点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0
两条曲线的交点 若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点?
f2(x0,y0) =0
方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲 线就没有 交点. 2.圆 圆的定义：
点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径. 圆的方程： (1)标准方程
圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x+y=r (2)一般方程
当D+E-4F＞0时，一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0
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v1.0 可编辑可修改 D2?E2-4FDE22
叫做圆的一般方程，圆心为(-,-，半径是.配方，将方程x+y+Dx+Ey+F=0化
222D2E2D2?E2-4F为(x+)+(y+)=
422当D+E-4F=0时，方程表示一个点(-2
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DE,-); 22当D+E-4F＜0时，方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则
｜MC｜＜r?点M在圆C内，｜MC｜=r?点M在圆C上，｜MC｜＞r?点M在圆C内， 其中｜MC｜=(x0-a)?(y0-b). (3)直线和圆的位置关系
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法
(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=
22Aa?Bb?CA?B22与半径r的大小关系来判定.
3.椭圆、双曲线和抛物线
椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.
曲线 椭 圆 性质 点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜轨迹条件 =2a,｜F 1F2｜＜2a＝ 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}. 双曲线 抛物线 圆 形 x2y2标准方程 +=1(a＞b＞0) a2b2x2y2-=1(a＞0,b＞0) a2b2y2=2px(p＞0) 2第 2 页 共 56 页
v1.0 可编辑可修改 A1(-a,0),A2(a,0); 顶 点 B1(0,-b),B2(0,b) 对称轴x=0,y=0 对称轴x=0,y=0 轴 长轴长：2a 实轴长：2a 虚轴长：2b 短轴长：2b F1(-c,0),F2(c,0) 焦 点 焦点在长轴上 ｜F1F2｜=2c， 焦 距 c=a2-b2 c=a2?b2 焦点在实轴上 ｜F1F2｜=2c, F1(-c,0),F2(c,0) F(对称轴y= A1(0,-a),A2(0,a) O(0,0) P，0) 2焦点对称轴上 a2x=± c准 线 准线垂直于长轴，且在椭圆外. 离心率 e=a2x=± c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. x=-p 2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. c,0＜e＜1 ae=c,e＞1 ae=1 4.圆锥曲线的统一定义
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.
其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率. 当0＜e＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换
坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.
坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.
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v1.0 可编辑可修改 坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 x=x′+h x′=x-h (1) 或(2)
y=y′+k y′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程 中心或顶点在(h,k)的圆锥方程见下表.
曲线 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 x=h y=k x=h y=k x=h y=k x=h y=k y=k y=k x=h x=h (x-h)2(y-k)2+=1 22ab椭圆 (±c+h,k) a2x=±+h ca2y=±+k ca2=±+k ca2y=±+k c(x-h)2(y-k)2+ =1 b2a2(x-h)2(y-k)2-=1 a2b2双曲线 (h,±c+k) (±c+h,k) (y-k)2(x-h)2-=1 22ab(y-k)=2p(x-h) (y-k)=-2p(x-h) 抛物线 (x-h)=2p(y-k) (x-h)=-2p(y-k) 二、知识点、能力点提示
2222(h,±c+h) p+h,k) 2p(-+h,k) 2p(h, +k) 2p(h,- +k) 2(p+h 2px=+h 2py=-+k 2py=+k 2x=-(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点
说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.
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v1.0 可编辑可修改 三、 考纲中对圆锥曲线的要求：
考试内容：
. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程； . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质； . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质； 考试要求：
. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程； . (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质； . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质； . (4)了解圆锥曲线的初步应用。 四．对考试大纲的理解
高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。
求圆锥曲线的方程
【复习要点】
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx+ny=1(m＞0,n＞0).
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高三数学第二轮专题复习系列(8)——圆锥曲线
