第2讲 第3课时 导数与函数的综合问题
一、选择题
1.方程x－6x＋9x－10＝0的实根个数是( ) A.3
3
3
2
B.2
2
C.1
2
D.0
解析 设f(x)＝x－6x＋9x－10，f′(x)＝3x－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6＜0，极小值为f(3)＝－10＜0，所以方程x－6x＋9x－10＝0的实根个数为1. 答案 C
2.若存在正数x使2(x－a)＜1成立，则实数a的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) C.(0，＋∞)
B.(－2，＋∞) D.(－1，＋∞)
x3
2
1x解析 ∵2(x－a)＜1，∴a＞x－x.
21－x令f(x)＝x－x，∴f′(x)＝1＋2ln 2＞0.
2∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1， ∴实数a的取值范围为(－1，＋∞). 答案 D
3.(2017·山东省实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则( ) A.3f(1) B.3f(1)>f(3) D.f(1)＝f(3) 解析 由于f(x)>xf′(x)，则?R上是单调递减函数，∴答案 B ?f（x）?′＝xf′（x）－f（x）<0恒成立，因此f（x）在 ?x2x?x? <1 ，即3f(1)>f(3). f（3）f（1） 3 4.(2017·德阳模拟)方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)＝ln x的“新驻点”为a，那么a满足( ) A.a＝1 C.2 B.0 11 解析 ∵g′(x)＝，∴ln x＝. xx1 设h(x)＝ln x－， x则h(x)在(0，＋∞)上为增函数. 1 又∵h(1)＝－1<0，h(2)＝ln 2－＝ln 2－lne>0， 2∴h(x)在(1，2)上有零点，∴1 5.(2017·宝鸡联考)已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表： x f(x) －1 1 0 2 2 0 3 2 4 0 f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示.当1 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图像如图所示. 由于f(0)＝f(3)＝2，1 答案 D 二、填空题 6.已知函数y＝x－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝________. 解析 设f(x)＝x－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2. 答案 －2或2 3 2 3 ?1?7.若函数f(x)＝ax－ln x在?，＋∞?上单调递增，则实数a的取值范围为________. ?2? 11?1??1?解析 由已知得f′(x)＝a－≥0对?x∈?，＋∞?恒成立，∴a≥对?x∈?，＋∞?恒xx?2??2? 11 成立，∵<＝2，∴a≥2. x12答案 [2，＋∞) x1 8.(2017·安徽江南名校联考)已知x∈(0，2)，若关于x的不等式x<则2恒成立，ek＋2x－x实数k的取值范围为________. 解析 依题意，知k＋2x－x>0. 即k>x－2x对任意x∈(0，2)恒成立，从而k≥0， e2 因此由原不等式，得k<＋x－2x恒成立. x2 2 xe?e?2 令f(x)＝＋x－2x，则f′(x)＝(x－1)?2＋2?. xxx?x? 令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(1，2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，当 x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，1)上单调递减，所以k 故实数k的取值范围是[0，e－1). 答案 [0，e－1) 三、解答题 9.设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围. 解 令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，则g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a. (1)当a≤1时，1－a≥0，∵x≥0，∴ln(x＋1)≥0， ∴g′(x)≥0，∴g(x)在[0，＋∞)上是增函数， ∴g(x)≥g(0)＝0， ∴当a≤1时，(x＋1)ln(x＋1)≥ax对x≥0都成立. (2)当a>1时，令g′(x)＝0解得x＝e当0 a－1 a－1 －1. －1时，g′(x)<0；当x>e a－1 a－1 －1时，g′(x)>0， ∴g(x)在(0，e∴g(e a－1 －1)上递减，在(e a－1 －1，＋∞)上递增， －1) ∴当a>1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立. 综上，由(1)(2)可知，实数a的取值范围是(－∞，1]. 10.(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝ln x－(1)求函数f(x)的单调区间； (2)求证：不等式(x＋1)ln x>2(x－1)对?x∈(1，2)恒成立. a（x－1） (a∈R). x
2024届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲第3课时导数与函数的综合问题练习理北师大版
