∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°, ∴∠BDC=90°. ∵tan∴DB=
DC=
, MN.
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.
23.(9分)已知如图平面直角坐标系中,点O是坐标原点,矩形ABCO是顶点坐标分别为A(3,0)、B(3,4)、C(0,4).点D在y轴上,且点D的坐标为(0,﹣5),点P是直线AC上的一动点.
(1)当点P运动到线段AC的中点时,求直线DP的解析式(关系式); (2)当点P沿直线AC移动时,过点D、P的直线与x轴交于点M.问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点P沿直线AC移动时,以点P为圆心、R(R>0)为半径长画圆.得到的圆称为动圆P.若设动圆P的半径长为
,过点D作动圆P的两条切线与
动圆P分别相切于点E、F.请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF?若存在,请求出最小面积S的值;若不存在,请说明理由.
【考点】FA:待定系数法求一次函数解析式;J4:垂线段最短;KQ:勾股定理;MG:切线长定理;MR:圆的综合题;S9:相似三角形的判定与性质.
【专题】15:综合题;16:压轴题;2C:存在型;32:分类讨论.
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【分析】方法一:
(1)只需先求出AC中点P的坐标,然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式.
(2)由于△DOM与△ABC相似,对应关系不确定,可分两种情况进行讨论,利用三角形相似求出OM的长,即可求出点M的坐标. (3)易证S△PED=S△PFD.从而有S﹣PE2=DP2﹣
四边形
DEPF=2S△PED=
DE.由∠DEP=90°得DE2=DP2
.根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:当DP⊥AC时,DP
最短,此时DE也最短,对应的四边形DEPF的面积最小.借助于三角形相似,即可求出DP⊥AC时DP的值,就可求出四边形DEPF面积的最小值. 方法二:
(1)利用中点公式求出P点坐标,并求出直线DP的解析式.
(2)若△DOM∽△ABC时,分类讨论两种情况,求出直线AC的斜率,从而求出M点坐标.
(3)由于PE与⊙P相切,因此只需求出PE长度及PD的长度表达式,利用面积公式便可求出四边形DEPF的面积函数,从而求出最小面积S的值. 【解答】方法一:
解:(1)过点P作PH∥OA,交OC于点H,如图1所示. ∵PH∥OA, ∴△CHP∽△COA. ∴
=
=
.
∵点P是AC中点, ∴CP=CA.
∴HP=OA,CH=CO. ∵A(3,0)、C(0,4), ∴OA=3,OC=4. ∴HP=,CH=2. ∴OH=2.
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∵PH∥OA,∠COA=90°, ∴∠CHP=∠COA=90°. ∴点P的坐标为(,2). 设直线DP的解析式为y=kx+b,
∵D(0,﹣5),P(,2)在直线DP上, ∴
∴
∴直线DP的解析式为y=
x﹣5.
(2)①若△DOM∽△ABC,图2(1)所示, ∵△DOM∽△ABC, ∴
=
.
∵点B坐标为(3,4),点D的坐标为(0,﹣5), ∴BC=3,AB=4,OD=5. ∴=∴OM=
. .
∵点M在x轴的正半轴上, ∴点M的坐标为(
,0)
②若△DOM∽△CBA,如图2(2)所示, ∵△DOM∽△CBA, ∴
=
.
∵BC=3,AB=4,OD=5, ∴=∴OM=
. .
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∵点M在x轴的正半轴上, ∴点M的坐标为(
,0).
,0)或(
,0).
综上所述:若△DOM与△CBA相似,则点M的坐标为(
(3)∵OA=3,OC=4,∠AOC=90°, ∴AC=5.
∴PE=PF=AC=. ∵DE、DF都与⊙P相切, ∴DE=DF,∠DEP=∠DFP=90°. ∴S△PED=S△PFD. ∴S四边形DEPF=2S△PED =2×PE?DE =PE?DE =DE. ∵∠DEP=90°, ∴DE2=DP2﹣PE2. =DP2﹣
.
根据“点到直线之间,垂线段最短”可得: 当DP⊥AC时,DP最短,
此时DE取到最小值,四边形DEPF的面积最小. ∵DP⊥AC, ∴∠DPC=90°. ∴∠AOC=∠DPC.
∵∠OCA=∠PCD,∠AOC=∠DPC, ∴△AOC∽△DPC. ∴
=
.
∵AO=3,AC=5,DC=4﹣(﹣5)=9,
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∴=.
.
∴DP=
∴DE2=DP2﹣=(=∴DE=
)2﹣.
,
∴S四边形DEPF=DE =
.
.
∴四边形DEPF面积的最小值为
方法二:
(1)A(3,0),C(0,4), ∵P为AC的中点,∴PX=∴P(,2), ∵D(0,﹣5), ∴直线DP的解析式为y=
=,PY==2,
x﹣5.
(2)若△DOM与△ABC相似,则∠ODM=∠OCA或∠ODM+∠OCA=90°, ①当∠ODM=∠OCA时,则KAC+KDM=0, ∵A(3,0)、C(0,4), ∴KAC=﹣,KDM=, ∵D(0,﹣5), ∴lDM:y=x﹣5, 当y=0时,x=
,
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2014年云南省中考数学试卷(省卷)附详细答案(原版+解析版)
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