∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°， ∴∠BDC=90°． ∵tan∴DB=
DC=
， MN．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数．
23．（9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）； （2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为
，过点D作动圆P的两条切线与
动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．
【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；J4：垂线段最短；KQ：勾股定理；MG：切线长定理；MR：圆的综合题；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】15：综合题；16：压轴题；2C：存在型；32：分类讨论．
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【分析】方法一：
（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．
（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标． （3）易证S△PED=S△PFD．从而有S﹣PE2=DP2﹣
四边形
DEPF=2S△PED=
DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2
．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP
最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值． 方法二：
（1）利用中点公式求出P点坐标，并求出直线DP的解析式．
（2）若△DOM∽△ABC时，分类讨论两种情况，求出直线AC的斜率，从而求出M点坐标．
（3）由于PE与⊙P相切，因此只需求出PE长度及PD的长度表达式，利用面积公式便可求出四边形DEPF的面积函数，从而求出最小面积S的值． 【解答】方法一：
解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示． ∵PH∥OA， ∴△CHP∽△COA． ∴
=
=
．
∵点P是AC中点， ∴CP=CA．
∴HP=OA，CH=CO． ∵A（3，0）、C（0，4）， ∴OA=3，OC=4． ∴HP=，CH=2． ∴OH=2．
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∵PH∥OA，∠COA=90°， ∴∠CHP=∠COA=90°． ∴点P的坐标为（，2）． 设直线DP的解析式为y=kx+b，
∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上， ∴
∴
∴直线DP的解析式为y=
x﹣5．
（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示， ∵△DOM∽△ABC， ∴
=
．
∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0，﹣5）， ∴BC=3，AB=4，OD=5． ∴=∴OM=
． ．
∵点M在x轴的正半轴上， ∴点M的坐标为（
，0）
②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示， ∵△DOM∽△CBA， ∴
=
．
∵BC=3，AB=4，OD=5， ∴=∴OM=
． ．
第23页（共28页）
∵点M在x轴的正半轴上， ∴点M的坐标为（
，0）．
，0）或（
，0）．
综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（
（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°， ∴AC=5．
∴PE=PF=AC=． ∵DE、DF都与⊙P相切， ∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°． ∴S△PED=S△PFD． ∴S四边形DEPF=2S△PED =2×PE?DE =PE?DE =DE． ∵∠DEP=90°， ∴DE2=DP2﹣PE2． =DP2﹣
．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得： 当DP⊥AC时，DP最短，
此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小． ∵DP⊥AC， ∴∠DPC=90°． ∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC， ∴△AOC∽△DPC． ∴
=
．
∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，
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∴=．
．
∴DP=
∴DE2=DP2﹣=（=∴DE=
）2﹣．
，
∴S四边形DEPF=DE =
．
．
∴四边形DEPF面积的最小值为
方法二：
（1）A（3，0），C（0，4）， ∵P为AC的中点，∴PX=∴P（，2）， ∵D（0，﹣5）， ∴直线DP的解析式为y=
=，PY==2，
x﹣5．
（2）若△DOM与△ABC相似，则∠ODM=∠OCA或∠ODM+∠OCA=90°， ①当∠ODM=∠OCA时，则KAC+KDM=0， ∵A（3，0）、C（0，4）， ∴KAC=﹣，KDM=， ∵D（0，﹣5）， ∴lDM：y=x﹣5， 当y=0时，x=
，
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2014年云南省中考数学试卷（省卷）附详细答案（原版+解析版）
