1、填空题
rx 1）函数y?e是常系数线性微分方程y???py??qy?0的解的充分必要条件是
r2?pr?q?0。
2）曲线族y?cos?x?C?（C为任意常数）所满足的一阶微分方程是y?1?y2??1。
xx 3）已知二阶线性齐次方程的两个解为y1?e,y2?xe，则该方程为
y???2y??y?0。 4）方程y??yy?tan的通解y为xxsiny?Cxx。
22x 5）设y1?3,y2?3?x,y3?3?x?e都是方程
?x2?2x?y????x2?2?y???2x?2?y?6x?6
的解，则方程得通解为y?C1x2?C2x2?ex?3。 2、求下列微分方程的通解
xx??x?yy? 1）?1?e?dx?e?1??dy?0 ??y????xx??x?xyy? 解：把x看着函数，原方程可化为?1?e?x??e?1???0，令u??x?yu ??y?y??????1?e??u?yu???e?1?u??0
uu变量分离两边积分得
1?eu1Cuudu??dy?lnu?e??lny?C?u?e? ???u?eu?yye?dyy? dxx?y3xyxC? yy 2）
解：把x看着函数，原方程可化为x?? 利用公式得
1x?y2，这是一阶线性微分方程 y11??ydy?2??ydyx?eyedy?C?????????y2?y??C? ?2? 3）1?x2y???2xy??0
解：容易看出，原方程可化为?1?x2y???0，所以1?x2y??C1 在变量分离两边积分得
??????????dy?? 4）y???C1dx?y?C1arctanx?C2 21?x1y??xex xxy???y?y??y???xx 解：原方程可化为?e????e??ex?C1 2xx?x?y???xex?C1x?dx?xex?ex? 5）y???9y?xsin3x
解：1）求y???9y?0的通解。
2 解特征方程r?9?0得r1?3i,r2??3i
C12x?C2 2 对应齐次方程的通解为y?C1sin3x?C2cos3x
2）因为p?0,q?9,??3,q??，所以原方程有特解形式
2y*?x???ax?b?sin3x??cx?d?cos3x??
代入原方程整理可得
??12cx?2a?6d?sin3x??12ax?2c?6b?cos3x?xsin3x
比较系数可得
a?d?0,b? 原方程通解为
11,c?? 3612x?1?y?C1sin3x?C2cos3x?x?sin3x?cos3x?
12?36? 6）xy???y??x
2xy???y?y??y????1??1??x?C1 解：容易看出，原方程可化为??2xx?x?x3C12y???x?C1x?dx??x?C2
322 7）y???4y??4y?3e?2x
解：求y???4y??4y?0的通解。
2 解特征方程r?4r?4?0得r1?r2??2
对应齐次方程的通解为y??C1?C2x?e?2x
2）因为???2是二重特征根，所以原方程有特解形式y?axe*2?2x，即
y*?? 原方程通解为
??2x?3dxdxe??32?2xxe 23y??C1?C2x?e?2x?x2e?2x
2 8）?2x?5y?3?dx??2x?4y?6?dy?0
?2x?5y?3?0?x?1 解：解方程组?得?，令X?x?1,Y?y?1，则有dx?dX,dy?dY
?2x?4y?6?0?y?1 原方程可化为
YdY2X?5YX （1） ??dX2X?4Y2?4?YX2?5?dYduY，则有，方程（1）可化为 ?u?XdXdXXdu2?5udu2?7u?4u2 u?X??X?dX2?4udX2?4u变量分离两边积分得
2?4u1du??2?7u?4u2?XdX
令u??24u?1?2?u?2?du?lnX?C
3??4u?1??u?2??2?12????du?lnX?C
3??u?24u?1?2?1???ln?u?2??ln?4u?1???lnX?C 3?2?
微分方程自测题
